Strukturální věda nebo jen výpočty?
"Britannica říká, že matematika je věda o strukturách,
Russellův paradox- objevil v roce 1901 Bertrand Russelmnožinový paradox (antinomie), demonstrující nekonzistenci Fregeova logického systému, který byl raným pokusem formalizovat naivní teorii množin Georga Cantora.
Paradox lze popsat následovně.Souhlasíme s tím, abychom množinu nazvali „obyčejnou“, pokud nejde o její vlastní prvek. Například zástup všech lidí je „obyčejný“, protože samotný zástup není osobou. Příkladem „neobvyklé“ množiny je množina všech množin, protože je sama množinou, a proto je sama svým vlastním prvkem.
Zermelo-Fraenkelův (ZF) axiomový systém- nejpoužívanější možnostaxiomatická teorie množin. Formuloval Ernst Zermelo v roce 1908, aby překonal paradoxy teorie množin, a poté jej zdokonalil Abraham Fraenkel v roce 1921. Systém axiomů je napsán v jazyce logiky prvního řádu.
Pokusím se vám dokázat, že matematika je základní věda.Základní věda by měla mít následujícívlastnosti: jeho výsledky musí být univerzální; jeho úkoly by neměly zahrnovat zpočátku praktické provádění získaných výsledků; a umožňuje nám získat nové poznatky o přírodě, tj. mít prediktivní sílu.
O univerzálnosti výsledků matematiky není pochyb.Toto je nejjednodušší bod, a proto je na prvním místě. Dokonce i na úrovni „dvakrát dva jsou čtyři“: kdykoli a na jakémkoli kontinentu to budou samozřejmě čtyři.
Jak se praktické nástroje zrodily z čistých nápadů
Existují čtyři odvětví matematiky, která se vyvinula ze zcela abstraktní myšlenky.Nejprve analýza nekonečně malého, conyní nazývána matematická analýza. Všechno to začalo tím, že Antifony pravděpodobně v 5. století před naším letopočtem navrhly metodu vyčerpání. Nyní se tomu říká. Pomocí této metody můžete najít oblast tvarů, jejichž hranice nejsou úsečkami. Například oblast kruhu. Pokud existuje kruh, může být uzavřen například do pětiúhelníku a také zapsán do pětiúhelníku. Oblast kruhu se ukáže být něco mezi. Pokud nahradíte pětiúhelník šesti, sedmi a osmiúhelníkem, přesnost aproximace se zvýší. Čím více je počet stran našeho polygonu, který je vepsán a popsán kolem kruhu, tím lepší je naše aproximace.
Metoda vyčerpání. Foto: commons.wikimedia.org
Ale plocha kruhu je úměrná čtverci poloměru a koeficient proporcionality je nějaké číslo.Byly navrženy odhady tohoto počtu:například Archimedes navrhl, že je to zhruba 22/7, tento odhad nám umožňuje získat přesnost na dvě desetinná místa. A notoricky známý Zu Chongzhi již nabídl mnohem lepší odhad: 355/113, již šest desetinných míst. Nakonec se ukázalo, že pi je iracionální a dokonce transcendentální číslo, to znamená, že nejde o algebraické číslo.
Zu Chongzhi- čínský matematik a astronom.Jak astronom s vysokou přesností určoval hvězdná období rotace planet sluneční soustavy. Vyvinul nový kalendář s ohledem na fenomén precese. Jak první matematik na světě spočítal pí na sedmé desetinné místo a dal mu hodnotu mezi 3,1415926 a 3,1415927; přesnější hodnota byla vypočtena až o tisíc let později.
Cavalieriho princip je velmi jednoduchý: pokud máte dvě objemová tělesa stejné výšky a na každé úrovni jsou oblasti excize stejné, pak jsou objemy těchto těles stejné.Tento princip je vhodný pro hledání svazků.těla, jejichž tváře nemusí být nutně ploché. Například kužel. Z těchto zcela teoretických přístupů k 17. století se již vyvíjí diferenciální a integrální počet, jehož počátky jsou dva vědci - Newton a Leibniz, kteří tuto oblast vyvinuli přibližně ve stejnou dobu. Praktická aplikace jejich práce dnes: hledání délky křivky a tečny ke kouli, divergence, rotory a dokonce i dvourozměrné normální rozdělení, díky čemuž lze hledat pravděpodobnosti komplexně konstruovaných událostí.
Bonaventure Cavalieri- italský matematik, předchůdcematematická analýza, nejvýznamnější a nejvlivnější představitel „geometrie nedělitelných“. Principy a metody, které předložil, umožnily, ještě před objevem matematické analýzy, úspěšně řešit mnoho problémů analytické povahy.
Cavalieriho princip. Foto: obzor.lt
V 16. století představil Gerolamo Cardano koncept komplexního čísla.V jeho dílech jsou komplexní čísla popisována jakozcela vytříbené a neužitečné struktury, vytříbená je pozitivní charakteristika, a k ničemu - no, rozumíme. Neviděl pro ně absolutně žádné využití, ale přesto se pokusil tuto teorii rozvinout. Později se ukázalo, že je to užitečný nástroj pro mnoho oblastí. Albert Einstein by souhlasil. Příklady zahrnují výpočet střídavých elektrických obvodů, který je mnohem jednodušší pomocí složitě významných funkcí. Všemožné věty o rozdělení prvočísel – známá Riemannova zeta funkce a s ní spojená věta, vlastně hypotéza, protože dosud nebyla prokázána – to je jeden ze sedmi problémů tisíciletí. Hyperkomplexní čísla, tzv. čtveřice, našla své uplatnění v polohování. Tady mi robotici budou rozumět. Když určujeme nebo nastavujeme polohu trojrozměrného objektu v prostoru, jsou čtveřice extrémně užitečné. A už teď je pro nás těžší obejít se bez přístupu do tohoto hyperkomplexního prostoru.
Gerolamo Cardano- italský matematik, inženýr, filozof, lékařa astrolog. Na jeho počest jsou pojmenovány vzorce pro řešení kubické rovnice objevené Scipio del Ferro (Cardano byl jejich prvním vydavatelem), závěs kardanu, kardanová hřídel a mřížka Cardano.
Čtveřiceje systém hyperkomplexních čísel, který tvoří vektorový prostor dimenze čtyři nad polem reálných čísel. Navrhl William Hamilton v roce 1843.
Některé šifrovací algoritmy jsou založeny na vlastnostech eliptických křivek, přesněji na jejich algebraických vlastnostech.Ale všechno začalo, když DiophantusAlexandrijci ve 3. století našeho letopočtu se pokusili najít řešení této rovnice: y * (6-y) = x3-x. Na konci 17. a na počátku 18. století se to Newton také pokusil vyřešit. Všechno se změnilo v celou teorii, která nám umožňuje šifrovat data dostatečně rychle, aby jejich dešifrování trvalo podstatně déle. To znamená, že takový mechanismus dostaneme kryptograficky - algoritmus.
Geometrický význam Riemannova integrálu. Foto: commons.wikimedia.org
Problém Eulerových mostů: existuje trasa, kterou lze obejít každý most v Königsbergu pouze jednou - dnes ji může vyřešit téměř každý účastník olympiády.Tato otázka z 18. století, tehdy ještě praktickynepoužitelný, zrodila celou oblast matematiky - topologie. Dnes se používá například v robotice. Manipulátor má konfigurační prostor. Například pro manipulátor se dvěma linkami je to torus. Ale torus je jednoznačný topologický objekt: vezmeme-li na torus dva body, můžeme říci o trajektorii pohybu mezi těmito dvěma body, o minimu atd. To znamená, že se objeví celá oblast pro analýzu. A pokud je manipulátor tříčlánkový, pak se povrch stává mnohem komplikovanějším a úkol najít nějakou optimální cestu nebo dokonce jen najít cestu je řádově velký. Zde se neobejdete bez topologie.
Problém sedmi mostů. Foto: studfile.net
Infinitezimální analýza, topologie, eliptické křivky, to vše dokazuje, že na vývoji těchto polí se podílelo mnoho lidí.A po 18. století se matematika již stáváprofesionální věda, to znamená, že člověk zvenčí nemá prakticky žádné šance dosáhnout v ní významného úspěchu na světové úrovni. Ukázalo se, že druhá teze byla prokázána. Tito lidé celý život dělají matematiku a nedoufají, že jejich konkrétní výsledky budou prakticky použitelné.
Jako způsob, jak popsat přírodu
Notoricky známý Higgsův boson, který byl samozřejmě předtím, než byl objeven a zaznamenán, byl nejprve vypočítán.To znamená, že existovala celá teorie založená na výpočtech.Teorie, že taková částice musí existovat a musí mít určité vlastnosti. To dokazuje, že matematika vám umožňuje získat nové znalosti o přírodě. Vraťme se na samý začátek: tato matematika je věda o určitých strukturách, pro které známe pouze jejich vlastnosti, a poté se podíváme na to, co z toho vychází. Higgsův boson, který v té době ještě nebyl znám, ale již podle předpokladů vědců, měl mít určité vlastnosti.
Druhým příkladem je devátá planeta.Ruský vědec Batygin, který je nyníučí v USA, nejprve vypočítal oběžnou dráhu deváté planety, než byla objevena. To znamená, že podle některých výpočtů měla tato planeta existovat a poté již byla ve vypočítaném bodě objevena.
Ukazuje se, že matematika je základní věda.Ale mnozí řeknou, že matematika je snadnákázeň ve službách přírodních věd a částečně budou mít pravdu. A dokonce by s nimi souhlasil i Kolmogorov, který v předmluvě ke knize Courant a Robbins uvedl, že matematika je neoddělitelná od jejích praktických aplikací.
Andrey Kolmogorov- Sovětský matematik, jeden ze zakladatelůmoderní teorie pravděpodobnosti, získal zásadní výsledky v topologii, geometrii, matematické logice, klasické mechanice, teorii turbulence, teorii složitosti algoritmů, teorii informace, teorii funkcí a v řadě dalších oblastí matematiky a jejích aplikací.
Richard Courant- německý a americký matematik, pedagog avědecký organizátor. Je známý jako autor klasické populární knihy o matematice „Co je matematika?“ a také jako jeden z autorů Courant-Friedrichs-Lewyho kritéria.
Herbert Robbins- Americký matematik a statistik. Je po něm pojmenováno Robbinsovo lemma, Robbinsova algebra, Robbinsova věta a další termíny.
Weil říká, že otázka základů matematiky a toho, co nakonec představuje, zůstává otevřená.A není znám žádný směr, který by to umožňovalnakonec najít definitivní odpověď na tuto otázku. Můžeme očekávat, že ho jednoho dne získají a uznají všichni matematici? Weil poukazuje na to, že samotný proces studia matematiky, matematizace, je tvůrčí proces, kdy se lidé, aniž by doufali v praktické uplatnění svých výsledků, výsledků své práce, jednoduše zapojí do tohoto procesu. Ale skutečnost, že popisuje svět, doufám, že jsem vás přesvědčila, o tom už není pochyb. Matematika skutečně popisuje svět a neexistuje žádná přírodní věda, která by nepoužívala matematický aparát. V moderním světě používají společenské vědy, včetně sociologie, matematické metody jako metody výzkumu.
André Weil- Francouzský matematik, který významně přispělpříspěvky k algebraické geometrii a topologii, člen Bourbakiho skupiny. Nejvýznamnější práce v oblasti algebraické geometrie, které dokázal doložit s požadovanou úrovní přesnosti, dosáhly významných výsledků ve funkcionální analýze, zejména v teorii míry a integrace v topologických grupách a teorii čísel, ke kterým aplikoval aparát homologické algebry a funkcionální analýzy.
Viz také:
Byla vytvořena první přesná mapa světa. Co se děje s ostatními?
Algoritmus objevil novou záhadnou vrstvu uvnitř Země
Uran získal status nejpodivnější planety ve sluneční soustavě. Proč?