Strukturwissenschaft oder nur Berechnungen?
"Britannica sagt, dass Mathematik die Wissenschaft der Strukturen ist,
Russells Paradoxon- 1901 von Bertrand Russell entdecktmengentheoretisches Paradoxon (Antinomie), das die Inkonsistenz von Freges logischem System demonstriert, das ein früher Versuch war, die naive Mengenlehre von Georg Cantor zu formalisieren.
Das Paradoxon kann wie folgt beschrieben werden.Lassen Sie uns zustimmen, eine Menge "gewöhnlich" zu nennen, wenn sie nicht ihr eigenes Element ist. Zum Beispiel ist die Menge aller Menschen "gewöhnlich", weil die Menge selbst keine Person ist. Ein Beispiel für eine "ungewöhnliche" Menge ist die Menge aller Mengen, da sie selbst eine Menge ist und daher selbst ein eigenes Element ist.
Zermelo-Fraenkel (ZF) Axiomensystem- am weitesten verbreitete Optionaxiomatische Mengenlehre. 1908 von Ernst Zermelo formuliert, um die Paradoxien der Mengenlehre zu überwinden, und 1921 von Abraham Fraenkel verfeinert. Das Axiomensystem ist in der Sprache der Logik erster Ordnung verfasst.
Ich werde versuchen, Ihnen zu beweisen, dass Mathematik eine Grundlagenwissenschaft ist.Die Grundlagenforschung sollte Folgendes habenEigenschaften: Die Ergebnisse müssen universell sein. Zu seinen Aufgaben sollte nicht die anfänglich praktische Umsetzung der erzielten Ergebnisse gehören. und es ermöglicht uns, neues Wissen über die Natur zu erlangen, dh Vorhersagekraft zu haben.
Es besteht kein Zweifel an der Universalität der Ergebnisse der Mathematik.Dies ist der einfachste Punkt, daher steht er an erster Stelle. Selbst auf der Ebene von „zweimal zwei ist vier“ gilt: Zu jeder Zeit und auf jedem Kontinent wird es natürlich vier sein.
Wie praktische Werkzeuge aus reinen Ideen entstanden sind
Es gibt vier Zweige der Mathematik, die sich aus einer völlig abstrakten Idee entwickelt haben.Zunächst eine Analyse des Infinitesimalen, wasjetzt mathematische Analyse genannt. Alles begann damit, dass Antiphones vermutlich im 5. Jahrhundert v. Chr. Eine Methode der Erschöpfung vorschlug. Das heißt es jetzt. Mit dieser Methode können Sie den Bereich von Formen finden, deren Grenzen keine Liniensegmente sind. Zum Beispiel die Fläche eines Kreises. Wenn es einen Kreis gibt, kann er beispielsweise in ein Fünfeck eingeschlossen und auch in ein Fünfeck eingeschrieben werden. Der Bereich des Kreises wird sich als etwas dazwischen herausstellen. Wenn Sie das Fünfeck durch ein Sechs-, Sieben- und Achteck ersetzen, erhöht sich die Genauigkeit der Approximation. Je mehr Seiten unseres Polygons um den Kreis herum eingeschrieben und beschrieben sind, desto besser ist unsere Annäherung.
Erschöpfungsmethode. Foto: commons.wikimedia.org
Aber die Fläche eines Kreises ist proportional zum Quadrat des Radius und der Proportionalitätskoeffizient ist eine Art Zahl.Schätzungen dieser Anzahl wurden vorgeschlagen:Zum Beispiel schlug Archimedes vor, dass dies ungefähr 22/7 ist. Diese Schätzung ermöglicht es uns, die Genauigkeit auf zwei Dezimalstellen zu bringen. Und der berüchtigte Zu Chongzhi hat bereits eine viel bessere Schätzung abgegeben: 355/113, bereits sechs Dezimalstellen. Am Ende wurde bewiesen, dass pi eine irrationale und sogar transzendentale Zahl ist, das heißt, es ist keine algebraische Zahl.
Zu Chongzhi- Chinesischer Mathematiker und Astronom.Wie ein Astronom mit hoher Genauigkeit die siderischen Umlaufzeiten der Planeten des Sonnensystems bestimmte. Entwickelte einen neuen Kalender unter Berücksichtigung des Phänomens der Präzession. Wie der erste Mathematiker der Welt Pi bis zur siebten Dezimalstelle berechnete und ihm einen Wert zwischen 3,1415926 und 3,1415927 gab; ein genauerer Wert wurde erst tausend Jahre später berechnet.
Cavalieris Prinzip ist sehr einfach: Wenn Sie zwei volumetrische Körper gleicher Höhe haben und auf jeder Ebene die Exzisionsflächen gleich sind, dann sind die Volumina dieser Körper gleich.Dieses Prinzip eignet sich zum Auffinden von Volumina.Körper, deren Gesichter nicht unbedingt flach sind. Zum Beispiel ein Kegel. Von solchen vollständig theoretischen Ansätzen bis zum 17. Jahrhundert entwickelt sich bereits eine Differential- und Integralrechnung, deren Ursprung zwei Wissenschaftler sind - Newton und Leibniz, die dieses Gebiet ungefähr zur gleichen Zeit entwickelten. Die praktische Anwendung ihrer heutigen Arbeit: die Suche nach der Länge einer Kurve und einer Tangente an eine Kugel, Divergenz, Rotoren und sogar eine zweidimensionale Normalverteilung, dank derer man nach den Wahrscheinlichkeiten komplex konstruierter Ereignisse suchen kann.
Bonaventure Cavalieri- Italienischer Mathematiker, Vorläufermathematische Analyse, der prominenteste und einflussreichste Vertreter der „Geometrie der Unteilbaren“. Die von ihm vorgeschlagenen Prinzipien und Methoden ermöglichten es, bereits vor der Entdeckung der mathematischen Analyse viele Probleme analytischer Natur erfolgreich zu lösen.
Cavalieri-Prinzip. Foto: obzor.lt
Im 16. Jahrhundert führte Gerolamo Cardano das Konzept einer komplexen Zahl ein.In seinen Werken werden komplexe Zahlen beschrieben alsVöllig verfeinerte und nutzlose Strukturen, verfeinert ist eine positive Eigenschaft und nutzlos – nun ja, wir verstehen. Er sah absolut keinen Nutzen für sie, versuchte aber dennoch, diese Theorie zu entwickeln. Später stellte sich heraus, dass dies für viele Bereiche ein nützliches Werkzeug ist. Albert Einstein würde zustimmen. Beispiele hierfür sind die Berechnung von Wechselstromkreisen, die mit komplex bedeutsamen Funktionen wesentlich einfacher ist. Alle möglichen Theoreme über die Verteilung von Primzahlen – die bekannte Riemannsche Zetafunktion und der damit verbundene Satz, eigentlich eine Hypothese, weil sie noch nicht bewiesen wurde – ist eines der sieben Probleme des Jahrtausends. Hyperkomplexe Zahlen, sogenannte Quaternionen, haben ihre Anwendung in der Positionierung gefunden. Robotiker werden mich hier verstehen. Wenn wir die Position eines dreidimensionalen Objekts im Raum bestimmen oder festlegen, sind Quaternionen äußerst nützlich. Und es fällt uns schon jetzt schwerer, auf den Zugang zu diesem hyperkomplexen Raum zu verzichten.
Gerolamo Cardano- Italienischer Mathematiker, Ingenieur, Philosoph, Arztund Astrologe. Die von Scipio del Ferro entdeckten Formeln zur Lösung der kubischen Gleichung (Cardano war ihr erster Herausgeber), die kardanische Aufhängung, die Kardanwelle und das Cardano-Gitter sind ihm zu Ehren benannt.
Quaternionenist ein System hyperkomplexer Zahlen, das über dem Körper der reellen Zahlen einen Vektorraum der Dimension vier bildet. 1843 von William Hamilton vorgeschlagen.
Einige Verschlüsselungsalgorithmen basieren auf den Eigenschaften elliptischer Kurven, genauer gesagt auf deren algebraischen Eigenschaften.Aber alles begann mit DiophantusAlexandrian versuchte im 3. Jahrhundert n. Chr. Eine Lösung für diese Gleichung zu finden: y * (6-y) = x3-x. Im späten 17. und frühen 18. Jahrhundert versuchte Newton auch, es zu lösen. Alles wurde zu einer ganzen Theorie, die es uns ermöglicht, Daten schnell genug zu verschlüsseln, so dass ihre Entschlüsselung erheblich länger dauern würde. Das heißt, wir erhalten einen solchen Mechanismus kryptografisch - einen Algorithmus.
Die geometrische Bedeutung des Riemannschen Integrals. Foto: commons.wikimedia.org
Das Problem der Euler-Brücken: Gibt es eine Route, um jede Brücke in Königsberg nur einmal zu umrunden – heute kann es fast jeder Olympiateilnehmer lösen.Diese Frage des 18. Jahrhunderts also damals noch praktischnicht anwendbar, brachte ein ganzes Gebiet der Mathematik hervor - Topologie. Heute wird es beispielsweise in der Robotik eingesetzt. Der Manipulator verfügt über einen Konfigurationsbereich. Für einen Zwei-Link-Manipulator ist dies beispielsweise ein Torus. Aber ein Torus ist ein bestimmtes topologisches Objekt: Wenn wir zwei Punkte auf einem Torus nehmen, können wir über die Bewegungsbahn zwischen diesen beiden Punkten, über die Minimalität usw. sagen. Das heißt, es erscheint ein ganzer Bereich für die Analyse. Und wenn der Manipulator aus drei Gliedern besteht, wird die Oberfläche viel komplizierter, und die Aufgabe, einen optimalen Pfad zu finden oder sogar nur einen Pfad zu finden, ist um Größenordnungen. Hier kann man nicht ohne Topologie auskommen.
Das Problem der sieben Brücken. Foto: studfile.net
Infinitesimalanalyse, Topologie und elliptische Kurven beweisen, dass viele Menschen an der Entwicklung dieser Gebiete beteiligt waren.Und nach dem 18. Jahrhundert wird die Mathematik bereitsDie professionelle Wissenschaft, dh eine Person von außen, hat praktisch keine Chancen, auf weltweiter Ebene einen signifikanten Erfolg zu erzielen. Es stellt sich heraus, dass die zweite These bewiesen wurde. Diese Leute haben ihr ganzes Leben lang Mathematik gemacht und nicht gehofft, dass ihre spezifischen Ergebnisse praktisch anwendbar sind.
Um die Natur zu beschreiben
Das berüchtigte Higgs-Boson, das natürlich erst berechnet wurde, bevor es entdeckt und aufgezeichnet wurde.Das heißt, es gab eine ganze Theorie, die auf Berechnungen beruhte.Die Theorie, dass ein solches Teilchen existieren und bestimmte Eigenschaften haben muss. Dies beweist, dass Sie mit der Mathematik neue Erkenntnisse über die Natur gewinnen können. Kehren wir zum Anfang zurück: Mathematik ist die Wissenschaft bestimmter Strukturen, für die wir nur die Eigenschaften kennen, und dann schauen wir uns an, was daraus entsteht. Das damals noch nicht bekannte Higgs-Boson, aber bereits nach den Annahmen von Wissenschaftlern, sollte bestimmte Eigenschaften haben.
Das zweite Beispiel ist der neunte Planet.Der russische Wissenschaftler Batygin, der es jetzt istlehrt in den USA, berechnete zuerst die Umlaufbahn des neunten Planeten, bevor er entdeckt wurde. Das heißt, nach einigen Berechnungen hätte dieser Planet existieren müssen, und dann wurde er bereits am berechneten Punkt entdeckt.
Es stellt sich heraus, dass Mathematik eine Grundlagenwissenschaft ist.Aber viele werden sagen, dass Mathe einfach istDisziplin im Dienste der Naturwissenschaften, und zum Teil werden sie Recht haben. Und selbst Kolmogorov würde ihnen zustimmen, der im Vorwort zu dem Buch von Courant und Robbins sagte, dass Mathematik untrennbar mit ihren praktischen Anwendungen verbunden ist.
Andrey Kolmogorov- Sowjetischer Mathematiker, einer der GründerEr erlangte grundlegende Ergebnisse in den Bereichen Topologie, Geometrie, mathematische Logik, klassische Mechanik, Turbulenztheorie, Algorithmenkomplexitätstheorie, Informationstheorie, Funktionstheorie und in einer Reihe anderer Bereiche der Mathematik und ihrer Anwendungen.
Richard Courant- Deutscher und amerikanischer Mathematiker, Pädagoge uwissenschaftlicher Organisator. Er ist als Autor des populären Mathematikklassikers „Was ist Mathematik?“ und auch als einer der Autoren des Courant-Friedrichs-Lewy-Kriteriums bekannt.
Herbert Robbins- US-amerikanischer Mathematiker und Statistiker. Das Lemma von Robbins, die Algebra von Robbins, der Satz von Robbins und andere Begriffe sind nach ihm benannt.
Weil sagt, dass die Frage nach den Grundlagen der Mathematik und was sie letztendlich darstellt, offen bleibt.Und es ist keine Richtung bekannt, die dies zulässtfinden Sie schließlich eine endgültige Antwort auf diese Frage. Können wir erwarten, dass es eines Tages von allen Mathematikern erhalten und anerkannt wird? Weil weist darauf hin, dass der Prozess des Studiums der Mathematik, der Mathematisierung, ein kreativer Prozess ist, wenn Menschen, die nicht auf eine praktische Anwendung ihrer Ergebnisse, der Ergebnisse ihrer Arbeit, hoffen, sich einfach auf diesen Prozess einlassen. Aber die Tatsache, dass er die Welt beschreibt, ich hoffe ich habe Sie überzeugt, daran besteht kein Zweifel mehr. Die Mathematik beschreibt die Welt wirklich, und es gibt keine Naturwissenschaft, die den mathematischen Apparat nicht benutzt. In der modernen Welt verwenden die Sozialwissenschaften, einschließlich der Soziologie, mathematische Methoden als Methoden für die Forschung.
André Weil- Französischer Mathematiker, der maßgeblich dazu beigetragen hatBeiträge zur algebraischen Geometrie und Topologie, Mitglied der Bourbaki-Gruppe. Die bedeutendsten Arbeiten auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie, die er mit der erforderlichen Genauigkeit belegen konnte, lieferten wichtige Ergebnisse in der Funktionalanalysis, insbesondere in der Theorie des Maßes und der Integration in topologischen Gruppen und der Zahlentheorie, zu der er wandte den Apparat der homologischen Algebra und der Funktionsanalyse an.
Siehe auch:
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Uranus hat den Status des seltsamsten Planeten im Sonnensystem erhalten. Warum?