Erstellen Sie eine Klassifikation von Mannigfaltigkeiten, beschreiben Sie beliebige Diagramme und sagen Sie voraus, wie sich die Umlaufbahn des Planeten ändert – jeder
Die Topologie ist eine Wissenschaft, sie besteht darin, die Eigenschaften eines Objekts zu untersuchen, das sich nicht ändert, wenn es deformiert wird.
„Sullivan hat unsere Sichtweise wiederholt geändertTopologie. Er führte neue Konzepte ein, bewies ikonische Theoreme, beantwortete alte Hypothesen und formulierte neue Probleme, die das Feld voranbrachten“, so der Text der Abel-Preis-Rede 2022. Seine Belohnung betrug 854.000 Dollar.
Im Laufe seiner Arbeit wechselte Sullivan von einem Bereich der Mathematik in einen anderen und löste Probleme mit einer Vielzahl von Werkzeugen, so die Organisatoren.
Da war der Abel-Preis der ersteMit der Verleihung im Jahr 2003 sei er zu einer Belohnung für die Lebensleistung eines Menschen geworden, sagt Hans Munthe-Kaas, Vorsitzender des Komitees von der Universität Bergen. Die letzten 24 Abel-Preisträger sind allesamt berühmte Mathematiker. „Es ist großartig, Teil dieser angesehenen Liste zu sein“, sagt Sullivan.
Über den Gewinner
Sullivan wurde in Port Huron, Michigan, geboren1941 und wuchs in Texas auf. Er begann seine mathematische Karriere in den 1960er Jahren. Zu dieser Zeit entwickelte sich die Topologie rasant, die Forscher versuchten, alle existierenden Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren.
Eine Mannigfaltigkeit in der Mathematik ist eine topologischeRaum, der in kleinen Maßstäben linear ist, ist von einer Ebene nicht zu unterscheiden. Aber die globale Form einer Mannigfaltigkeit ähnelt nicht immer der Form eines flachen Raums, so wie sich die Oberfläche einer Kugel von der Oberfläche einer zweidimensionalen Schicht unterscheidet. In diesem Fall werden diese Objekte als topologisch verschieden bezeichnet.
Was ist die Essenz der Arbeit des Preisträgers?
- Topologie
Mitte des 20. Jahrhunderts erkannten Mathematiker, dass die Topologie von Mannigfaltigkeiten auf völlig unterschiedliche Weise funktioniert. Es hänge alles von der Anzahl der Dimensionen eines Objekts ab, sagt Sullivan.
Das Studium von Mannigfaltigkeiten mit vier oder weniger Dimensionen sei der Geometrie sehr ähnlich, sagt er. Auch die Methoden waren geometrisch: Figuren wurden in Stücke geschnitten und dann wieder zusammengesetzt.
Aber für Objekte mit vielen Dimensionen – fünfund mehr - wir haben es geschafft, viel weiter voranzukommen. Sullivan erstellte zusammen mit anderen Forschern eine Sortenklassifikation. Er zerlegte Probleme in solche, die auch mit algebraischen Berechnungen gelöst werden könnten, sagt Niels Baas, Mathematiker an der norwegischen Universität für Wissenschaft und Technologie in Trondheim.
Sullivan erklärte, dass er am stolzesten seiErgebnisse, die er 1977 erzielte. Er war in der Lage, die wichtigsten Eigenschaften des Weltraums mit einem Werkzeug namens rationale Homotopie zu bestimmen. Dies ist zu einem seiner am häufigsten zitierten Werke und zu den am weitesten verbreiteten Techniken geworden.
Homotopie ist eine Familie kontinuierlicher Abbildungen,deren Urbild und Bild topologische Räume sind. Das heißt, was wir mit einem Objekt durch Spannung, Kompression und viskose Verschiebung tun können, ist, wenn ein Teil seiner Umgebung zusammen mit dem Punkt verschoben wird. Dies ist notwendig für die algorithmische Beschreibung von Prozessen und den Aufbau der Logik der Architektur anhand eines mathematischen Modells.
- Dynamische Systeme
In den 1980er Jahren wurde Sullivan interessiertdynamische Systeme. Hierbei handelt es sich um Systeme, die sich im Laufe der Zeit weiterentwickeln – die Umlaufbahnen von Planeten oder zyklische Veränderungen in einer Population. Auch hier habe Sullivan Beiträge geleistet, die des Abel-Preises würdig seien, sagt Munthe-Kaas.
Insbesondere hat Sullivan dies bewiesenMithilfe von Computermodellen wurde es vom amerikanischen mathematischen Physiker Mitchell Feigenbaum entdeckt. Bestimmte Zahlen, heute Feigenbaum-Konstanten genannt, kommen in vielen Arten dynamischer Systeme vor, und Sullivans Arbeit erklärte, warum.
„Es ist eine Sache, dies aus einem Experiment heraus zu wissenComputer, und es ist etwas ganz anderes, es als exaktes mathematisches Theorem zu kennen“, sagt Sullivan. Andere Mathematiker haben versucht, dies mit vorhandenen Werkzeugen zu beweisen, sind aber gescheitert.
- Diagrammklassifizierung
Sullivan und sein Kollege Bill Parry konnten erstmals die Parry-Sullivan-Invariante formulieren, eine Zahl, mit der sich Klassifikationen und teilweise eindimensionale dynamische Systeme erstellen lassen.
Sie erklärten, dass man aus jedem Diagramm machen kanneine Inzidenzmatrix, in der Zeilen Scheitelpunkte und Spalten Kanten sind. Als Ergebnis der Arbeit stellte sich heraus, dass die Determinante des Unterschieds in den Einheits- und quadratischen Inzidenzmatrizen nicht topologisch gemessen werden kann. Die Autoren entschieden sich, es zu verwenden, um die Struktur eines Graphen zu beschreiben.
- Turbulentes Verhalten von Flüssigkeiten
In den folgenden Jahrzehnten entwickelte Sullivan eine Leidenschaft fürturbulentes Verhalten von Flüssigkeiten, wie z. B. Wasserströmungen. Er sagte, sein Traum sei es, Muster zu entdecken, die einen solchen Schritt in großem Maßstab vorhersehbar machen könnten.
Laut dem Vorsitzenden des Abel-Komitees, Hans Munthe-Kaas, ist eine der wichtigen Eigenschaften des Preisträgers die Fähigkeit, Beziehungen und Analogien zwischen verschiedenen und ziemlich weit entfernten Bereichen der Mathematik zu finden.
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