Δομική επιστήμη ή απλά υπολογισμοί;
"Η Britannica λέει ότι τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των δομών,
Το παράδοξο του Ράσελ- ανακαλύφθηκε το 1901 από τον Μπέρτραντ ΡάσελΘεωρητικό παράδοξο συνόλων (αντινομία), που καταδεικνύει την ασυνέπεια του λογικού συστήματος του Φρέγκε, που ήταν μια πρώιμη προσπάθεια να επισημοποιηθεί η αφελής θεωρία συνόλων του Γκέοργκ Κάντορ.
Το παράδοξο μπορεί να περιγραφεί ως εξής.Ας συμφωνήσουμε να ονομάσουμε ένα σετ "συνηθισμένο" εάν δεν είναι δικό του στοιχείο. Για παράδειγμα, το πλήθος όλων των ανθρώπων είναι «συνηθισμένο» επειδή το ίδιο το πλήθος δεν είναι άτομο. Ένα παράδειγμα ενός "ασυνήθιστου" συνόλου είναι το σύνολο όλων των συνόλων, δεδομένου ότι είναι το ίδιο ένα σύνολο και, επομένως, το ίδιο είναι το δικό του στοιχείο.
Σύστημα αξιώματος Zermelo-Fraenkel (ZF)- η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη επιλογήαξιωματική θεωρία συνόλων. Διατυπώθηκε από τον Ernst Zermelo το 1908 για να ξεπεράσει τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων και στη συνέχεια βελτιώθηκε από τον Abraham Fraenkel το 1921. Το σύστημα των αξιωμάτων είναι γραμμένο στη γλώσσα της λογικής πρώτης τάξης.
Θα προσπαθήσω να σας αποδείξω ότι τα μαθηματικά είναι θεμελιώδης επιστήμη.Η βασική επιστήμη πρέπει να έχει τα ακόλουθαιδιότητες: τα αποτελέσματά του πρέπει να είναι καθολικά. Τα καθήκοντά του δεν θα πρέπει να περιλαμβάνουν αρχικά πρακτική εφαρμογή των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται και μας επιτρέπει να αποκτήσουμε νέες γνώσεις σχετικά με τη φύση, δηλαδή να έχουμε προγνωστική δύναμη.
Δεν υπάρχει αμφιβολία για την καθολικότητα των αποτελεσμάτων των μαθηματικών.Αυτό είναι το πιο εύκολο σημείο, επομένως έρχεται πρώτο. Πράγματι, ακόμη και στο επίπεδο του «δύο δύο είναι τέσσερα»: ανά πάσα στιγμή και σε οποιαδήποτε ήπειρο θα είναι, φυσικά, τέσσερα.
Πώς γεννήθηκαν πρακτικά εργαλεία από καθαρές ιδέες
Υπάρχουν τέσσερις κλάδοι των μαθηματικών που έχουν αναπτυχθεί από μια εντελώς αφηρημένη ιδέα.Πρώτον, μια ανάλυση του άπειρου, τιτώρα ονομάζεται μαθηματική ανάλυση. Όλα ξεκίνησαν με το γεγονός ότι, κατά πάσα πιθανότητα, τα Αντιφωνικά τον 5ο αιώνα π.Χ. πρότειναν μια μέθοδο εξάντλησης. Λέγεται τώρα. Χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, μπορείτε να βρείτε την περιοχή των σχημάτων των οποίων τα όρια δεν είναι τμήματα γραμμών. Για παράδειγμα, η περιοχή ενός κύκλου. Εάν υπάρχει κύκλος, τότε μπορεί να περικλείεται, για παράδειγμα, σε ένα πεντάγωνο, και επίσης να είναι εγγεγραμμένος σε ένα πεντάγωνο. Η περιοχή του κύκλου θα είναι κάτι ενδιάμεσο. Εάν αντικαταστήσετε το πεντάγωνο με έξι, επτά και οκτάγωνο, τότε η ακρίβεια της προσέγγισης θα αυξηθεί. Όσο περισσότερο ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου μας, το οποίο είναι εγγεγραμμένο και περιγράφεται γύρω από τον κύκλο, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγισή μας.
Μέθοδος εξάντλησης. Φωτογραφία: commons.wikimedia.org
Αλλά το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ανάλογο με το τετράγωνο της ακτίνας και ο συντελεστής αναλογικότητας είναι κάποιο είδος αριθμού.Έχουν προταθεί εκτιμήσεις αυτού του αριθμού:Για παράδειγμα, ο Αρχιμήδης πρότεινε ότι αυτό είναι περίπου 22/7, αυτή η εκτίμηση μας επιτρέπει να έχουμε ακρίβεια σε δύο δεκαδικά ψηφία. Και ο διαβόητος Zu Chunzhi έχει ήδη προτείνει μια πολύ καλύτερη εκτίμηση: 355/113, ήδη έξι δεκαδικά ψηφία. Στο τέλος, αποδείχθηκε ότι το pi είναι ένας παράλογος και μάλιστα υπερβατικός αριθμός, δηλαδή δεν είναι ένας αλγεβρικός αριθμός.
Ζου Τσονγκζί- Κινέζος μαθηματικός και αστρονόμος.Πώς ένας αστρονόμος προσδιόρισε με μεγάλη ακρίβεια τις αστρικές περιόδους περιστροφής των πλανητών του ηλιακού συστήματος. Ανέπτυξε ένα νέο ημερολόγιο λαμβάνοντας υπόψη το φαινόμενο της μετάπτωσης. Πώς ο πρώτος μαθηματικός στον κόσμο υπολόγισε το pi στο έβδομο δεκαδικό ψηφίο, δίνοντάς του μια τιμή μεταξύ 3,1415926 και 3,1415927; μια πιο ακριβής τιμή υπολογίστηκε μόνο χίλια χρόνια αργότερα.
Η αρχή του Cavalieri είναι πολύ απλή: εάν έχετε δύο ογκομετρικά σώματα του ίδιου ύψους και σε κάθε επίπεδο οι περιοχές εκτομής είναι οι ίδιες, τότε οι όγκοι αυτών των σωμάτων είναι οι ίδιοι.Αυτή η αρχή είναι κατάλληλη για την εύρεση τόμων.σώματα των οποίων τα πρόσωπα δεν είναι απαραίτητα επίπεδα. Για παράδειγμα, ένας κώνος. Από τέτοιες εντελώς θεωρητικές προσεγγίσεις στον 17ο αιώνα, ο διαφορικός και ολικός λογισμός αναπτύσσεται ήδη, με την προέλευση των οποίων είναι δύο επιστήμονες - ο Newton και ο Leibniz, οι οποίοι ανέπτυξαν αυτήν την περιοχή περίπου την ίδια στιγμή. Η πρακτική εφαρμογή του έργου τους σήμερα: η αναζήτηση για το μήκος μιας καμπύλης και μια εφαπτομένη σε μια σφαίρα, απόκλιση, ρότορες και ακόμη και μια δισδιάστατη κανονική κατανομή, χάρη στην οποία μπορεί κανείς να αναζητήσει τις πιθανότητες σύνθετων κατασκευών γεγονότων.
Bonaventure Cavalieri- Ιταλός μαθηματικός, πρόδρομοςμαθηματική ανάλυση, ο πιο εξέχων και επιδραστικός εκπρόσωπος της «γεωμετρίας των αδιαιρέτων». Οι αρχές και οι μέθοδοι που πρότεινε κατέστησαν δυνατή, ακόμη και πριν από την ανακάλυψη της μαθηματικής ανάλυσης, την επιτυχή επίλυση πολλών προβλημάτων αναλυτικής φύσης.
Αρχή Καβαλιέρι. Φωτογραφία: obzor.lt
Τον 16ο αιώνα, ο Gerolamo Cardano εισήγαγε την έννοια ενός πολύπλοκου αριθμού.Στα έργα του οι μιγαδικοί αριθμοί περιγράφονται ωςεντελώς εκλεπτυσμένες και άχρηστες δομές, το εκλεπτυσμένο είναι ένα θετικό χαρακτηριστικό, και άχρηστο - καλά, καταλαβαίνουμε. Δεν είδε καμία απολύτως χρησιμότητα για αυτά, αλλά, παρ' όλα αυτά, προσπάθησε να αναπτύξει αυτή τη θεωρία. Αργότερα έγινε σαφές ότι αυτό είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για πολλούς τομείς. Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν θα συμφωνούσε. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν τον υπολογισμό των ηλεκτρικών κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος, ο οποίος είναι πολύ πιο απλός χρησιμοποιώντας πολύπλοκες σημαντικές συναρτήσεις. Κάθε είδους θεωρήματα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών - η γνωστή συνάρτηση ζήτα Riemann και το θεώρημα που σχετίζεται με αυτήν, μια υπόθεση, στην πραγματικότητα, επειδή δεν έχει ακόμη αποδειχθεί - αυτό είναι ένα από τα επτά προβλήματα της χιλιετίας. Οι υπερσύνθετοι αριθμοί, τα λεγόμενα τεταρτοταγή, έχουν βρει την εφαρμογή τους στην τοποθέτηση. Οι ρομποτικοί θα με καταλάβουν εδώ. Όταν προσδιορίζουμε ή ορίζουμε τη θέση ενός τρισδιάστατου αντικειμένου στο χώρο, τα τεταρτοταγή είναι εξαιρετικά χρήσιμα. Και είναι ήδη πιο δύσκολο για εμάς να το κάνουμε χωρίς πρόσβαση σε αυτόν τον υπερ-σύνθετο χώρο.
Γκερολάμο Καρντάνο- Ιταλός μαθηματικός, μηχανικός, φιλόσοφος, γιατρόςκαι αστρολόγος. Οι τύποι για την επίλυση της κυβικής εξίσωσης που ανακαλύφθηκε από τον Scipio del Ferro (ο Cardano ήταν ο πρώτος τους εκδότης), η ανάρτηση του gimbal, ο άξονας κάρδανου και το πλέγμα Cardano ονομάζονται προς τιμήν του.
Τεταρτημόριαείναι ένα σύστημα υπερμιγαδικών αριθμών που σχηματίζει ένα διανυσματικό χώρο διάστασης τέσσερα πάνω στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Προτάθηκε από τον William Hamilton το 1843.
Ορισμένοι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης βασίζονται στις ιδιότητες των ελλειπτικών καμπυλών, ή πιο συγκεκριμένα, στις αλγεβρικές τους ιδιότητες.Αλλά όλα ξεκίνησαν όταν ο ΔιοφάντοςΟ Αλεξανδρινός τον 3ο αιώνα μ.Χ. προσπάθησε να βρει μια λύση σε αυτήν την εξίσωση: y * (6-y) = x3-x. Στα τέλη του 17ου και στις αρχές του 18ου αιώνα, ο Νεύτωνας προσπάθησε επίσης να το λύσει. Όλα οδήγησαν σε μια ολόκληρη θεωρία, η οποία μας επιτρέπει να κρυπτογραφούμε δεδομένα αρκετά γρήγορα έτσι ώστε η αποκρυπτογράφηση τους να πάρει πολύ περισσότερο χρόνο. Δηλαδή, έχουμε έναν τέτοιο μηχανισμό κρυπτογραφικά - έναν αλγόριθμο.
Η γεωμετρική έννοια του ακέραιου Riemann. Φωτογραφία: commons.wikimedia.org
Το πρόβλημα των γεφυρών του Euler: υπάρχει διαδρομή για να περιηγηθείτε σε κάθε γέφυρα στο Königsberg μόνο μία φορά - σήμερα σχεδόν οποιοσδήποτε συμμετέχων στην Ολυμπιάδα μπορεί να το λύσει.Αυτό το ζήτημα του 18ου αιώνα, στη συνέχεια εξακολουθεί να είναι πρακτικάανεφάρμοστο, γέννησε μια ολόκληρη περιοχή των μαθηματικών - τοπολογία. Σήμερα χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στη ρομποτική. Ο χειριστής έχει χώρο διαμόρφωσης. Για παράδειγμα, για έναν χειριστή δύο συνδέσμων, αυτός είναι ένας στροφός. Αλλά ένας δακτύλιος είναι ένα σαφές τοπολογικό αντικείμενο: αν πάρουμε δύο σημεία σε έναν δακτύλιο, μπορούμε να πούμε για την τροχιά της κίνησης μεταξύ αυτών των δύο σημείων, για την ελάχιστη και ούτω καθεξής. Δηλαδή, εμφανίζεται ένας ολόκληρος τομέας ανάλυσης. Και αν ο χειριστής είναι τριών συνδέσμων, τότε η επιφάνεια γίνεται πολύ πιο περίπλοκη και το έργο της εύρεσης κάποιου βέλτιστου μονοπατιού, ή ακόμη και της εύρεσης μιας διαδρομής, είναι τάξεις μεγέθους. Εδώ δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς τοπολογία.
Το πρόβλημα των επτά γεφυρών. Φωτογραφία: studfile.net
Η απειροελάχιστη ανάλυση, η τοπολογία, οι ελλειπτικές καμπύλες αποδεικνύουν ότι πολλοί άνθρωποι συμμετείχαν στην ανάπτυξη αυτών των πεδίων.Και μετά τον 18ο αιώνα, τα μαθηματικά γίνονται ήδηεπαγγελματική επιστήμη, δηλαδή, ένα άτομο από το εξωτερικό δεν έχει πρακτικά καμία πιθανότητα να επιτύχει σημαντική επιτυχία σε αυτό σε παγκόσμιο επίπεδο. Η δεύτερη θέση, αποδεικνύεται, έχει αποδειχθεί. Αυτοί οι άνθρωποι κάνουν μαθηματικά όλη τους τη ζωή, ελπίζοντας ότι τα συγκεκριμένα αποτελέσματά τους θα είναι πρακτικά εφαρμόσιμα.
Ως τρόπος περιγραφής της φύσης
Το περιβόητο μποζόνιο Χιγκς, το οποίο φυσικά, πριν ανακαλυφθεί και καταγραφεί, υπολογίστηκε πρώτα.Δηλαδή, υπήρχε μια ολόκληρη θεωρία βασισμένη σε υπολογισμούς.Η θεωρία ότι ένα τέτοιο σωματίδιο πρέπει να υπάρχει και πρέπει να έχει ορισμένες ιδιότητες. Αυτό αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά σας επιτρέπουν να αποκτήσετε νέες γνώσεις σχετικά με τη φύση. Ας επιστρέψουμε στην αρχή: ότι τα μαθηματικά είναι η επιστήμη ορισμένων δομών για τις οποίες γνωρίζουμε μόνο τις ιδιότητες και μετά εξετάζουμε τι προέρχεται από αυτό. Το μποζόνιο Higgs, το οποίο δεν ήταν ακόμη γνωστό εκείνη την εποχή, αλλά ήδη σύμφωνα με τις υποθέσεις των επιστημόνων, θα έπρεπε να είχε ορισμένες ιδιότητες.
Το δεύτερο παράδειγμα είναι ο ένατος πλανήτης.Ο Ρώσος επιστήμονας Batygin, που είναι τώραδιδάσκει στις ΗΠΑ, υπολόγισε πρώτα την τροχιά του ένατου πλανήτη πριν ανακαλυφθεί. Δηλαδή, σύμφωνα με ορισμένους υπολογισμούς, αυτός ο πλανήτης θα έπρεπε να υπήρχε και στη συνέχεια ανακαλύφθηκε ήδη στο υπολογισμένο σημείο.
Αποδεικνύεται ότι τα μαθηματικά είναι μια θεμελιώδης επιστήμη.Αλλά πολλοί θα πουν ότι τα μαθηματικά είναι εύκολοπειθαρχία στην υπηρεσία των φυσικών επιστημών, και εν μέρει θα έχουν δίκιο. Και ακόμη και ο Kolmogorov θα συμφωνούσε μαζί τους, οι οποίοι, στον πρόλογο του βιβλίου των Courant και Robbins, δήλωσαν ότι τα μαθηματικά είναι αδιαχώριστα από τις πρακτικές του εφαρμογές.
Αντρέι Κολμογκόροφ- Σοβιετικός μαθηματικός, ένας από τους ιδρυτέςσύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων, απέκτησε θεμελιώδη αποτελέσματα στην τοπολογία, τη γεωμετρία, τη μαθηματική λογική, την κλασική μηχανική, τη θεωρία αναταράξεων, τη θεωρία πολυπλοκότητας αλγορίθμων, τη θεωρία πληροφοριών, τη θεωρία συναρτήσεων και σε μια σειρά από άλλους τομείς των μαθηματικών και των εφαρμογών τους.
Ρίτσαρντ Κουράντ- Γερμανός και Αμερικανός μαθηματικός, εκπαιδευτικός καιεπιστημονικός διοργανωτής. Είναι γνωστός ως συγγραφέας του κλασικού δημοφιλούς βιβλίου για τα μαθηματικά, «Τι είναι τα μαθηματικά;» και επίσης ως ένας από τους συγγραφείς του κριτηρίου Courant-Friedrichs-Lewy.
Χέρμπερτ Ρόμπινς- Αμερικανός μαθηματικός και στατιστικολόγος. Το λήμμα του Ρόμπινς, η άλγεβρα του Ρόμπινς, το θεώρημα του Ρόμπινς και άλλοι όροι έχουν το όνομά του.
Ο Weil λέει ότι το ζήτημα των θεμελίων των μαθηματικών και του τι αντιπροσωπεύουν τελικά παραμένει ανοιχτό.Και δεν υπάρχει γνωστή κατεύθυνση που θα επιτρέπειτελικά βρείτε μια οριστική απάντηση σε αυτήν την ερώτηση. Μπορούμε να περιμένουμε ότι κάποια μέρα θα ληφθεί και θα αναγνωριστεί από όλους τους μαθηματικούς; Ο Weil επισημαίνει ότι η ίδια η διαδικασία της μελέτης των μαθηματικών, των μαθηματικών, είναι μια δημιουργική διαδικασία όταν οι άνθρωποι, που δεν ελπίζουν για μια πρακτική εφαρμογή των αποτελεσμάτων τους, τα αποτελέσματα της δουλειάς τους, απλώς συμμετέχουν σε αυτήν τη διαδικασία. Αλλά το γεγονός ότι περιγράφει τον κόσμο, ελπίζω να σας έπεισα, δεν υπάρχει πλέον αμφιβολία γι 'αυτόν. Τα μαθηματικά περιγράφουν πραγματικά τον κόσμο και δεν υπάρχει φυσική επιστήμη που δεν χρησιμοποιεί τη μαθηματική συσκευή. Στον σύγχρονο κόσμο, οι κοινωνικές επιστήμες, συμπεριλαμβανομένης της κοινωνιολογίας, χρησιμοποιούν μαθηματικές μεθόδους ως μεθόδους έρευνας.
Αντρέ Γουίλ- Γάλλος μαθηματικός που συνέβαλε σημαντικάσυνεισφορές στην αλγεβρική γεωμετρία και τοπολογία, μέλος της ομάδας Μπουρμπάκη. Οι πιο σημαντικές εργασίες στον τομέα της αλγεβρικής γεωμετρίας, τις οποίες μπόρεσε να τεκμηριώσει με το απαιτούμενο επίπεδο αυστηρότητας, έφεραν σημαντικά αποτελέσματα στη συναρτησιακή ανάλυση, ιδίως στη θεωρία του μέτρου και της ολοκλήρωσης σε τοπολογικές ομάδες και τη θεωρία αριθμών, στην οποία εφάρμοσε τη συσκευή της ομολογικής άλγεβρας και της λειτουργικής ανάλυσης.
Δείτε επίσης:
Δημιουργήθηκε ο πρώτος ακριβής χάρτης του κόσμου. Τι συμβαίνει με όλους τους άλλους;
Ο αλγόριθμος ανακάλυψε ένα νέο μυστηριώδες στρώμα μέσα στη Γη
Ο Ουρανός έχει λάβει την κατάσταση του πιο παράξενου πλανήτη στο ηλιακό σύστημα. Γιατί;