Μαθηματικά στη φύση
Οι πρώτοι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι προσπάθησαν να περιγράψουν και να εξηγήσουν την τάξη στη φύση,
Το 1202 ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι ανακάλυψεΑκολουθία αριθμών Φιμπονάτσι στον δυτικό κόσμο στο Βιβλίο του Άβακα. Ο Φιμπονάτσι έδωσε ένα (ανύπαρκτο) βιολογικό παράδειγμα της αριθμητικής αύξησης ενός θεωρητικού πληθυσμού κουνελιών. το βιβλίο του On Growth and Form. Η περιγραφή του για τη σχέση μεταξύ της φυλλοταξίας (η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος φυτού) και των αριθμών Fibonacci (η μαθηματική σχέση μεταξύ των προτύπων σπειροειδούς ανάπτυξης στα φυτά) έχει γίνει κλασική. Έδειξε ότι απλές εξισώσεις θα μπορούσαν να περιγράψουν τα φαινομενικά πολύπλοκα μοτίβα σπειροειδούς ανάπτυξης των κεράτων ζώων και των κελυφών μαλακίων.
Turing, Plateau, Haeckel, Zeising — διάσημες μορφές της τέχνης και της επιστήμης αναζήτησαν τους αυστηρούς νόμους των μαθηματικών και τους βρήκαν στην ομορφιά της φύσης.
Η σπείρα Fibonacci είναι μια γεωμετρική εξέλιξη της ομορφιάς
Οι σπείρες είναι κοινές μεταξύ των φυτών και ορισμένωνζώα, ιδιαίτερα μεταξύ των μαλακίων. Για παράδειγμα, στα ναυτιλιδικά μαλάκια, κάθε κύτταρο του κελύφους τους είναι ένα κατά προσέγγιση αντίγραφο του επόμενου, κλιμακούμενο κατά μια σταθερά και διατεταγμένο σε μια λογαριθμική σπείρα.
Τις περισσότερες φορές βρίσκεται στη φύσηΑκολουθία Fibonacci. Ξεκινά με τους αριθμούς 1 και 1 και στη συνέχεια λαμβάνεται κάθε επόμενος αριθμός προσθέτοντας τους δύο προηγούμενους αριθμούς. Επομένως, μετά το 1 και το 1, ο επόμενος αριθμός είναι 2 (1 + 1). Ο επόμενος αριθμός είναι 3 (1 + 2), μετά 5 (2 + 3) και ούτω καθεξής.
Οι σπείρες στα φυτά παρατηρούνται στη διάταξηφύλλα στο στέλεχος, καθώς και στη δομή του μπουμπουκιού και των σπόρων ενός λουλουδιού - για παράδειγμα, σε έναν ηλίανθο ή στη δομή του καρπού του ανανά και της ρέγγας. Η ακολουθία Fibonacci μπορεί επίσης να φανεί σε ένα κουκουνάρι, όπου ένας τεράστιος αριθμός σπειρών είναι διατεταγμένοι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα. Αυτοί οι μηχανισμοί εξηγούνται με διαφορετικούς τρόπους - από τα μαθηματικά, τη φυσική, τη χημεία, τη βιολογία. Κάθε μια από τις εξηγήσεις είναι σωστή από μόνη της, αλλά είναι απαραίτητο να τις λάβουμε όλες υπόψη.
Φυσικά, οι σπείρες είναι διαμορφώσειςχαμηλές ενέργειες που προκύπτουν αυθόρμητα μέσω της αυτοοργάνωσης διαδικασιών σε δυναμικά συστήματα. Από την άποψη της χημείας, μια έλικα μπορεί να σχηματιστεί με μια διαδικασία αντίδρασης-διάχυσης που περιλαμβάνει τόσο ενεργοποίηση όσο και αναστολή. Η φυλλοταξία ελέγχεται από πρωτεΐνες που ελέγχουν τη συγκέντρωση της φυτικής ορμόνης αυξίνης, η οποία ενεργοποιεί την ανάπτυξη του μεσαίου στελέχους, μαζί με άλλους μηχανισμούς για τον έλεγχο της σχετικής γωνίας του οφθαλμού προς το στέλεχος. Βιολογικά, τα φύλλα απέχουν τόσο πολύ όσο επιτρέπει η φυσική επιλογή, καθώς μεγιστοποιεί την πρόσβαση σε πόρους, ειδικά στο φως του ήλιου, για φωτοσύνθεση.
Fractals - ατελείωτη (σχεδόν) επανάληψη
Τα φράκταλ είναι ένα άλλο ενδιαφέρονμια μαθηματική μορφή που όλοι έχουν δει στη φύση. Το ίδιο το Fractal είναι ένα αυτο-όμοιο επαναλαμβανόμενο σχήμα, που σημαίνει ότι το ίδιο βασικό σχήμα εμφανίζεται ξανά και ξανά.
Με άλλα λόγια, εάν κάνετε μεγέθυνση ή σμίκρυνση, το ίδιο πράγμα θα είναι ορατό παντού.
Αυτές οι αυτοπαρόμοιες κυκλικές μαθηματικές δομές, οι οποίες έχουν μια φράκταλ διάσταση, είναι αρκετά κοινές, ειδικά μεταξύ των φυτών. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι η φτέρη.
Τα φύλλα φτερών είναι ένα τυπικό παράδειγμα μιας επαναλαμβανόμενης σειράς.
Παρεμπιπτόντως, η άπειρη επανάληψη είναι αδύνατηφύση, επομένως όλα τα μοτίβα φράκταλ είναι μόνο προσεγγίσεις (προσεγγίσεις). Για παράδειγμα, τα φύλλα των φτέρων και ορισμένων ομφαλοφόρων φυτών (για παράδειγμα, το κύμινο) είναι ίδια μέχρι το δεύτερο, τρίτο ή τέταρτο επίπεδο.
Βρίσκονται επίσης μοτίβα φτέρηςσε πολλά φυτά (μπρόκολο, λάχανο Romanesco, στεφάνες δέντρων και φύλλα φυτών, φρούτα ανανά), ζώα (βρυοζώες, κοράλλια, υδρίδια, αστερίες, αχινούς). Επίσης, τα μοτίβα φράκταλ λαμβάνουν χώρα στη δομή της διακλάδωσης των αιμοφόρων αγγείων και των βρόγχων σε ζώα και ανθρώπους.
Τα πρώτα παραδείγματα αυτοδύναμων συνόλων με ασυνήθισταιδιότητες εμφανίστηκαν τον 19ο αιώνα ως αποτέλεσμα της μελέτης συνεχών μη διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων (για παράδειγμα, συνάρτηση Bolzano, συνάρτηση Weierstrass, σετ Cantor). Ο όρος "fractal" εισήχθη από τον Benoit Mandelbrot το 1975 και έγινε ευρέως γνωστός με τη δημοσίευση του βιβλίου του "Fractal Geometry of Nature" το 1977.
Σετ Mandelbrot - κλασικό μοτίβο φράκταλ
Τα Fractals απέκτησαν ιδιαίτερη δημοτικότητα με την ανάπτυξη τεχνολογιών υπολογιστών, οι οποίες κατέστησαν δυνατή την αποτελεσματική οπτικοποίηση αυτών των δομών.
Τα πολύγωνα είναι μια ιδιοφυΐα μηχανικής
Με επαρκή παρατήρηση, είναι εύκολο να ανιχνευθεί αυστηρή γεωμετρία στη ζωντανή φύση. Τα εξάγωνα —κανονικά εξάγωνα— έχουν ιδιαίτερη εκτίμηση.
Για παράδειγμα, οι κηρήθρες στις οποίες αποθηκεύουν οι μέλισσεςΤο χρυσό νέκταρ είναι ένα θαύμα της μηχανικής, ένα σύνολο κυψελών σε σχήμα πρίσματος με ένα κανονικό εξάγωνο στη βάση. Το πάχος των τοιχωμάτων του κεριού είναι αυστηρά καθορισμένο, τα κύτταρα αποκλίνουν ελαφρώς από την οριζόντια, έτσι ώστε το παχύρρευστο μέλι να μην ρέει έξω και οι κηρήθρες βρίσκονται σε ισορροπία, λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση του μαγνητικού πεδίου της Γης. Όμως αυτή η δομή, χωρίς σχέδια ή προβλέψεις, φτιάχνεται από πολλές μέλισσες, οι οποίες ταυτόχρονα εργάζονται και με κάποιο τρόπο συντονίζουν τις προσπάθειές τους να κάνουν τις κηρήθρες ίδιες.
Εάν φυσάτε φυσαλίδες στην επιφάνεια του νερού,για να τα ενώσουν, θα πάρουν το σχήμα των εξαγώνων - ή τουλάχιστον να το πλησιάσουν. Ποτέ δεν θα δείτε μια δέσμη τετραγωνικών φυσαλίδων: ακόμα κι αν αγγίξουν τα τέσσερα τοιχώματα, θα τακτοποιηθούν αμέσως σε μια δομή με τρεις πλευρές, μεταξύ των οποίων θα υπάρχουν περίπου ίσες γωνίες 120 μοιρών. Γιατί συμβαίνει αυτό?
Ο αφρός είναι πολλές φυσαλίδες.Στη φύση, υπάρχουν αφροί κατασκευασμένοι από διαφορετικά υλικά. Ο αφρός που κατασκευάζεται από μεμβράνες σαπουνιού υπακούει στους νόμους του Plateau, σύμφωνα με τους οποίους τρεις μεμβράνες σαπουνιού ενώνονται υπό γωνία 120 μοιρών και τέσσερις όψεις ενώνονται σε κάθε κορυφή ενός τετραέδρου υπό γωνία 109,5 μοιρών. Οι νόμοι του Plateau απαιτούν τότε οι μεμβράνες να είναι λείες και συνεχείς και να έχουν σταθερή μέση καμπυλότητα σε κάθε σημείο. Για παράδειγμα, μια μεμβράνη μπορεί να παραμένει σχεδόν επίπεδη κατά μέσο όρο, με καμπυλότητα προς μία κατεύθυνση (π.χ. από αριστερά προς τα δεξιά), ενώ ταυτόχρονα να είναι καμπυλωμένη προς την αντίθετη κατεύθυνση (π.χ. από πάνω προς τα κάτω). Ο Λόρδος Kelvin διατύπωσε το πρόβλημα της συσκευασίας κυψελών του ίδιου όγκου με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο με τη μορφή αφρού το 1887. Η λύση του είναι μια κυβική κηρήθρα με ελαφρώς καμπύλες άκρες που ικανοποιούν τους νόμους του οροπεδίου. Αυτή παρέμεινε η καλύτερη λύση μέχρι το 1993, όταν οι Denis Waeren και Robert Phalan πρότειναν τη δομή Waeren-Phalen Αυτή η δομή στη συνέχεια προσαρμόστηκε για τον εξωτερικό τοίχο του Εθνικού Συγκροτήματος Κολύμβησης του Πεκίνου, που κατασκευάστηκε για να φιλοξενήσει τους Θερινούς Ολυμπιακούς Αγώνες του 2008.
Η φύση ασχολείται με την οικονομία.Οι φυσαλίδες και η μεμβράνη σαπουνιού αποτελούνται από νερό (και ένα στρώμα μορίων σαπουνιού), και η επιφανειακή τάση συμπιέζει την επιφάνεια του υγρού έτσι ώστε να καταλαμβάνει τη μικρότερη περιοχή. Επομένως, όταν πέφτουν σταγόνες βροχής, παίρνουν ένα σχήμα κοντά στο σφαιρικό: μια σφαίρα έχει τη μικρότερη επιφάνεια σε σύγκριση με άλλες μορφές του ίδιου όγκου. Σε ένα φύλλο κεριού, τα σταγονίδια νερού συμπιέζονται σε μικρές χάντρες για τον ίδιο λόγο.
Η επιφανειακή τάση εξηγεί επίσης το μοτίβοπου σχηματίζουν φυσαλίδες ή αφρό. Ο αφρός επιδιώκει έναν σχεδιασμό στον οποίο η συνολική επιφανειακή τάση είναι ελάχιστη, πράγμα που σημαίνει ότι η επιφάνεια της μεμβράνης σαπουνιού πρέπει επίσης να είναι ελάχιστη. Όμως, η διαμόρφωση των τοιχωμάτων των φυσαλίδων πρέπει επίσης να είναι ισχυρή από την άποψη των μηχανικών: η ένταση σε διαφορετικές κατευθύνσεις στην «διασταύρωση» πρέπει να είναι απόλυτα ισορροπημένη (σύμφωνα με την ίδια αρχή, απαιτείται ισορροπία κατά την κατασκευή των τοίχων του καθεδρικού ναού). Η τρισδιάστατη συγκόλληση σε μεμβράνη φυσαλίδων και η τετράδρομη συγκόλληση σε αφρό είναι συνδυασμοί που επιτυγχάνουν αυτήν την ισορροπία.
Διαβάστε περισσότερα
Δημιουργήθηκε ο πρώτος ακριβής χάρτης του κόσμου. Τι συμβαίνει με όλους τους άλλους;
Η NASA είπε πώς θα παραδώσει δείγματα του Άρη στη Γη
Ο Ουρανός έχει λάβει την κατάσταση του πιο παράξενου πλανήτη στο ηλιακό σύστημα. Γιατί;