¿Ciencia estructural o simplemente cálculos?
"La Británica dice que las matemáticas son la ciencia de las estructuras,
La paradoja de Russell- descubierto en 1901 por Bertrand Russellparadoja de la teoría de conjuntos (antinomia), que demuestra la inconsistencia del sistema lógico de Frege, que fue un primer intento de formalizar la ingenua teoría de conjuntos de Georg Cantor.
La paradoja se puede describir de la siguiente manera.Acordemos llamar "ordinario" a un conjunto si no es su propio elemento. Por ejemplo, la multitud de todas las personas es "ordinaria" porque la multitud en sí no es una persona. Un ejemplo de un conjunto "inusual" es el conjunto de todos los conjuntos, ya que él mismo es un conjunto y, por lo tanto, él mismo es su propio elemento.
Sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF)- opción más utilizadaTeoría de conjuntos axiomática. Formulada por Ernst Zermelo en 1908 para superar las paradojas de la teoría de conjuntos y luego refinada por Abraham Fraenkel en 1921. El sistema de axiomas está escrito en el lenguaje de la lógica de primer orden.
Intentaré demostrarles que las matemáticas son una ciencia fundamental.La ciencia básica debe tener lo siguientepropiedades: sus resultados deben ser universales; sus tareas no deben incluir la implementación práctica inicial de los resultados obtenidos; y nos permite adquirir nuevos conocimientos sobre la naturaleza, es decir, tener poder predictivo.
No hay duda de la universalidad de los resultados de las matemáticas.Este es el punto más fácil, por lo que es lo primero. De hecho, incluso al nivel de “dos veces dos son cuatro”: en cualquier momento y en cualquier continente serán, por supuesto, cuatro.
Cómo nacieron las herramientas prácticas a partir de ideas puras
Hay cuatro ramas de las matemáticas que se han desarrollado a partir de una idea completamente abstracta.Primero, un análisis del infinitesimal, lo queahora llamado análisis matemático. Todo comenzó con el hecho de que, presumiblemente, Antífonas en el siglo V a.C. propuso un método de agotamiento. Se llama así ahora. Con este método, puede encontrar el área de formas cuyos límites no son segmentos de línea. Por ejemplo, el área de un círculo. Si hay un círculo, entonces puede estar encerrado, por ejemplo, en un pentágono, y también inscrito en un pentágono. El área del círculo resultará ser algo intermedio. Si reemplaza el pentágono con un seis, un siete y un octágono, la precisión de la aproximación aumentará. Cuanto mayor sea el número de lados de nuestro polígono, que está inscrito y descrito alrededor del círculo, mejor resulta nuestra aproximación.
Método de agotamiento. Foto: commons.wikimedia.org
Pero el área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio y el coeficiente de proporcionalidad es una especie de número.Se han propuesto estimaciones de este número:por ejemplo, Arquímedes sugirió que esto es aproximadamente 22/7, esta estimación nos permite obtener precisión con dos lugares decimales. Y el notorio Zu Chongzhi ya ha ofrecido una estimación mucho mejor: 355/113, ya seis decimales. Al final, se demostró que pi es un número irracional e incluso trascendental, es decir, no es un número algebraico.
Zu Chongzhi- Matemático y astrónomo chino.Cómo un astrónomo determinó con gran precisión los períodos siderales de revolución de los planetas del sistema solar. Desarrolló un nuevo calendario teniendo en cuenta el fenómeno de la precesión. Cómo el primer matemático del mundo calculó pi hasta el séptimo decimal, dándole un valor entre 3,1415926 y 3,1415927; Sólo mil años después se calculó un valor más preciso.
El principio de Cavalieri es muy simple: si tienes dos cuerpos volumétricos de la misma altura y en cada nivel las áreas de escisión son las mismas, entonces los volúmenes de estos cuerpos son los mismos.Este principio es adecuado para encontrar volúmenes.cuerpos cuyas caras no son necesariamente planas. Por ejemplo, un cono. A partir de enfoques tan completamente teóricos del siglo XVII, ya se está desarrollando el cálculo diferencial e integral, en cuyos orígenes se encuentran dos científicos, Newton y Leibniz, que desarrollaron esta área aproximadamente al mismo tiempo. La aplicación práctica de su trabajo hoy: la búsqueda de la longitud de una curva y una tangente a una esfera, divergencia, rotores e incluso una distribución normal bidimensional, gracias a la cual se pueden buscar las probabilidades de eventos construidos de manera compleja.
Buenaventura Cavalieri- matemático italiano, precursoranálisis matemático, el representante más destacado e influyente de la “geometría de los indivisibles”. Los principios y métodos que propuso hicieron posible, incluso antes del descubrimiento del análisis matemático, resolver con éxito muchos problemas de naturaleza analítica.
Principio de Cavalieri. Foto: obzor.lt
En el siglo XVI, Gerolamo Cardano introdujo el concepto de número complejo.En sus obras, los números complejos se describen comoestructuras completamente refinadas e inútiles, refinadas es una característica positiva e inútil, bueno, lo entendemos. No les vio ninguna utilidad, pero, sin embargo, intentó desarrollar esta teoría. Más tarde quedó claro que se trata de una herramienta útil para muchos ámbitos. Albert Einstein estaría de acuerdo. Los ejemplos incluyen el cálculo de circuitos eléctricos de CA, que es mucho más sencillo utilizando funciones complejas y significativas. Todo tipo de teoremas sobre la distribución de números primos - la conocida función zeta de Riemann y el teorema asociado a ella, una hipótesis, de hecho, porque aún no ha sido demostrada - es uno de los siete problemas del milenio. Los números hipercomplejos, los llamados cuaterniones, han encontrado su aplicación en el posicionamiento. Los robóticos me entenderán aquí. Cuando determinamos o fijamos la posición de un objeto tridimensional en el espacio, los cuaterniones son extremadamente útiles. Y ya nos resulta más difícil prescindir del acceso a este espacio hipercomplejo.
Gerolamo Cardano- Matemático, ingeniero, filósofo y médico italiano.y astrólogo. En su honor llevan su nombre las fórmulas para resolver la ecuación cúbica descubierta por Escipión del Ferro (Cardano fue su primer editor), la suspensión del cardán, el eje cardán y la red de Cardano.
Cuaternioneses un sistema de números hipercomplejos que forma un espacio vectorial de dimensión cuatro sobre el campo de los números reales. Propuesto por William Hamilton en 1843.
Algunos algoritmos de cifrado se basan en las propiedades de las curvas elípticas o, más precisamente, en sus propiedades algebraicas.Pero todo empezó cuando DiofantoAlejandrino en el siglo III d.C. trató de encontrar una solución a esta ecuación: y * (6-y) = x3-x. A finales del siglo XVII y principios del XVIII, Newton también intentó resolverlo. Todo se convirtió en una teoría completa, que nos permite cifrar datos con la suficiente rapidez para que su descifrado lleve mucho más tiempo. Es decir, obtenemos dicho mecanismo criptográficamente: un algoritmo.
El significado geométrico de la integral de Riemann. Foto: commons.wikimedia.org
El problema de los puentes de Euler: ¿existe una ruta para rodear cada puente en Königsberg sólo una vez? Hoy en día, casi cualquier participante de la Olimpiada puede resolverlo.Esta pregunta del siglo XVIII, entonces prácticamenteinaplicable, dio origen a toda un área de las matemáticas: la topología. Hoy se utiliza, por ejemplo, en robótica. El manipulador tiene un espacio de configuración. Por ejemplo, para un manipulador de dos enlaces, este es un toro. Pero un toro es un objeto topológico definido: si tomamos dos puntos en un toro, podemos decir acerca de la trayectoria del movimiento entre estos dos puntos, acerca de la minimidad, etc. Es decir, aparece toda una zona de análisis. Y si el manipulador es de tres enlaces, entonces la superficie se vuelve mucho más complicada, y la tarea de encontrar un camino óptimo, o incluso simplemente encontrar un camino, es de órdenes de magnitud. Aquí no puede prescindir de la topología.
El problema de los siete puentes. Foto: studfile.net
El análisis infinitesimal, la topología y las curvas elípticas demuestran que muchas personas participaron en el desarrollo de estos campos.Y después del siglo XVIII, las matemáticas ya se están convirtiendo enLa ciencia profesional, es decir, una persona del exterior prácticamente no tiene posibilidades de lograr un éxito significativo en ella a nivel mundial. Resulta que la segunda tesis ha sido probada. Estas personas han estado haciendo matemáticas toda su vida, sin esperar que sus resultados específicos sean prácticamente aplicables.
Como forma de describir la naturaleza
El famoso bosón de Higgs, que, por supuesto, antes de ser descubierto y registrado, fue el primero en calcularse.Es decir, existía toda una teoría basada en cálculos.La teoría de que tal partícula debe existir y debe tener ciertas propiedades. Esto demuestra que las matemáticas le permiten adquirir nuevos conocimientos sobre la naturaleza. Volvamos al principio: que las matemáticas son la ciencia de ciertas estructuras de las que solo conocemos las propiedades, y luego veamos qué resulta de esto. El bosón de Higgs, que aún no se conocía en ese momento, pero ya según las suposiciones de los científicos, debería haber tenido ciertas propiedades.
El segundo ejemplo es el noveno planeta.El científico ruso Batygin, que ahora esenseña en los Estados Unidos, calculó por primera vez la órbita del noveno planeta antes de que fuera descubierto. Es decir, según algunos cálculos, este planeta debería haber existido, y luego ya fue descubierto en el punto calculado.
Resulta que las matemáticas son una ciencia fundamental.Pero muchos dirán que las matemáticas son fácilesdisciplina al servicio de las ciencias naturales, y en parte tendrán razón. E incluso Kolmogorov estaría de acuerdo con ellos, quienes, en el prefacio del libro de Courant y Robbins, dijeron que las matemáticas son inseparables de sus aplicaciones prácticas.
Andrey Kolmogorov- Matemático soviético, uno de los fundadores.teoría de la probabilidad moderna, obtuvo resultados fundamentales en topología, geometría, lógica matemática, mecánica clásica, teoría de la turbulencia, teoría de la complejidad de los algoritmos, teoría de la información, teoría de funciones y en muchas otras áreas de las matemáticas y sus aplicaciones.
Richard Courant- Matemático, educador y matemático alemán y estadounidense.organizador científico. Es conocido como el autor del clásico libro popular sobre matemáticas “¿Qué son las matemáticas?”, y también como uno de los autores del criterio de Courant-Friedrichs-Lewy.
Herbert Robbins- Matemático y estadístico estadounidense. El lema de Robbins, el álgebra de Robbins, el teorema de Robbins y otros términos llevan su nombre.
Weil dice que la cuestión de los fundamentos de las matemáticas y lo que representan en última instancia sigue abierta.Y no hay una dirección conocida que permitaeventualmente encontrar una respuesta definitiva a esta pregunta. ¿Podemos esperar que algún día sea obtenido y reconocido por todos los matemáticos? Weil señala que el proceso mismo de estudiar matemáticas, la matematización, es un proceso creativo, cuando las personas, sin esperar una aplicación práctica de sus resultados, los resultados de su trabajo, simplemente se involucran en este proceso. Pero el hecho de que describa el mundo, espero haberte convencido, ya no hay ninguna duda al respecto. Las matemáticas realmente describen el mundo y no hay ciencia natural que no utilice el aparato matemático. En el mundo moderno, las ciencias sociales, incluida la sociología, utilizan métodos matemáticos como métodos de investigación.
André Weil- Matemático francés que contribuyó significativamentecontribuciones a la geometría algebraica y la topología, miembro del grupo Bourbaki. Los trabajos más importantes en el campo de la geometría algebraica, que supo fundamentar con el nivel de rigor requerido, obtuvieron importantes resultados en el análisis funcional, en particular en la teoría de la medida y la integración en grupos topológicos y la teoría de números, a los que Aplicó el aparato de álgebra homológica y análisis funcional.
Ver tambien
Создана первая точная карта мира. Что не так со всеми остальными?
Algoritmo ha descubierto una nueva capa misteriosa dentro de la Tierra
Urano ha recibido el estatus del planeta más extraño del sistema solar. ¿Por qué?