Rakennetiede vai vain laskelmat?
"Britannica sanoo, että matematiikka on rakenteita,
Russellin paradoksi- löysi Bertrand Russell vuonna 1901joukkoteoreettinen paradoksi (antinomia), joka osoittaa Fregen loogisen järjestelmän epäjohdonmukaisuuden, joka oli varhainen yritys formalisoida Georg Cantorin naiivi joukkoteoria.
Paradoksi voidaan kuvata seuraavasti.Hyväksykäämme kutsua joukko "tavalliseksi", ellei se ole sen oma elementti. Esimerkiksi kaikkien ihmisten joukko on "tavallista", koska itse joukko ei ole henkilö. Esimerkki "epätavallisesta" joukosta on kaikkien joukkojen joukko, koska se on itse joukko, ja siksi itsessään on oma elementtinsä.
Zermelo-Fraenkel (ZF) -aksiomajärjestelmä- yleisimmin käytetty vaihtoehtoaksiomaattinen joukkoteoria. Ernst Zermelo muotoili sen vuonna 1908 joukkoteorian paradoksien voittamiseksi, ja Abraham Fraenkel jalosti sen vuonna 1921. Aksioomijärjestelmä on kirjoitettu ensimmäisen asteen logiikan kielellä.
Yritän todistaa sinulle, että matematiikka on perustiede.Perustieteen tulisi olla seuraavaominaisuudet: sen tulosten on oltava yleismaailmallisia; sen tehtäviin ei saisi sisältyä saatujen tulosten alun perin käytännön toteuttamista; ja se antaa meille mahdollisuuden hankkia uutta tietoa luonnosta, ts. ennustevoiman.
Matematiikan tulosten universaalisuudesta ei ole epäilystäkään.Tämä on helpoin kohta, joten se tulee ensin. Todellakin, jopa tasolla "kaksi kaksi on neljä": milloin tahansa ja millä tahansa mantereella se on tietysti neljä.
Kuinka käytännön työkalut syntyivät puhtaista ideoista
On neljä matematiikan haaraa, jotka ovat kehittyneet täysin abstraktista ideasta.Ensin analysoidaan ääretön pieni, mitäjota nyt kutsutaan matemaattiseksi analyysiksi. Kaikki alkoi siitä, että oletettavasti Antiphones 5. vuosisadalla eKr. Ehdotti uupumustapaa. Sitä kutsutaan nyt. Tämän menetelmän avulla voit löytää niiden muotojen alueen, joiden rajat eivät ole viivasegmenttejä. Esimerkiksi ympyrän pinta-ala. Jos on ympyrä, se voidaan sulkea esimerkiksi viisikulmioon ja merkitä myös viisikulmioon. Ympyrän alue osoittautuu olevan jotain välissä. Jos vaihdat viisikulmion kuudella, seitsemällä ja kahdeksankulmalla, likiarvon tarkkuus kasvaa. Mitä enemmän monikulmion sivujen lukumäärä on kirjoitettu ja kuvattu ympyrän ympärille, sitä parempi lähentämisemme osoittautuu.
Uupumismenetelmä. Kuva: commons.wikimedia.org
Mutta ympyrän pinta-ala on verrannollinen säteen neliöön, ja suhteellisuuskerroin on jonkinlainen luku.Arvioita tästä määrästä on ehdotettu:esimerkiksi Archimedes ehdotti, että se on suunnilleen 22/7, tämän arvion avulla voimme saada tarkkuutta kahteen desimaaliin. Ja pahamaineinen Zu Chongzhi on jo ehdottanut paljon parempaa arviota: 355/113, jo kuusi desimaalia. Loppujen lopuksi todistettiin, että pi on irrationaalinen ja jopa transsendenttinen luku, toisin sanoen se ei ole algebrallinen luku.
Zu Chongzhi- kiinalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä.Kuinka tähtitieteilijä määritti aurinkokunnan planeettojen sideeriset kierrosjaksot suurella tarkkuudella. Kehittänyt uuden kalenterin, joka ottaa huomioon precessioilmiön. Kuinka maailman ensimmäinen matemaatikko laski pi:n seitsemännen desimaalin tarkkuudella ja antoi sille arvon välillä 3,1415926 ja 3,1415927; tarkempi arvo laskettiin vasta tuhat vuotta myöhemmin.
Cavalierin periaate on hyvin yksinkertainen: jos sinulla on kaksi samankorkuista tilavuuskappaletta ja jokaisella tasolla leikkausalueet ovat samat, niin näiden kappaleiden tilavuudet ovat samat.Tämä periaate soveltuu määrien löytämiseen.elimet, joiden kasvot eivät välttämättä ole tasaiset. Esimerkiksi kartio. Tällaisista täysin teoreettisista lähestymistavoista 1700-luvulle on jo kehittymässä differentiaali- ja integraalilaskenta, jonka lähtökohtana on kaksi tutkijaa - Newton ja Leibniz, jotka ovat kehittäneet tätä aluetta suunnilleen samanaikaisesti. Heidän työnsä käytännön soveltaminen tänään: käyrän pituuden ja pallon tangentin etsiminen, divergenssi, roottorit ja jopa kaksiulotteinen normaalijakauma, jonka avulla voidaan etsiä monimutkaisesti rakennettujen tapahtumien todennäköisyyksiä.
Bonaventure Cavalieri- Italialainen matemaatikko, edelläkävijämatemaattinen analyysi, "jakamattomien geometrian" näkyvin ja vaikutusvaltaisin edustaja. Hänen esittämänsä periaatteet ja menetelmät mahdollistivat monien analyyttisten ongelmien ratkaisemisen onnistuneesti jo ennen matemaattisen analyysin löytämistä.
Cavalierin periaate. Kuva: obzor.lt
1500-luvulla Gerolamo Cardano esitteli kompleksiluvun käsitteen.Hänen teoksissaan kompleksilukuja kuvataan seuraavastitäysin jalostetut ja hyödyttömät rakenteet, hienostunut on positiivinen ominaisuus, ja hyödytön - no, ymmärrämme. Hän ei nähnyt niistä mitään hyötyä, mutta yritti silti kehittää tätä teoriaa. Myöhemmin kävi selväksi, että tämä on hyödyllinen työkalu monilla aloilla. Albert Einstein olisi samaa mieltä. Esimerkkejä ovat AC-sähköpiirien laskenta, joka on paljon yksinkertaisempaa käyttämällä monimutkaisesti merkittäviä toimintoja. Kaikenlaiset teoreemat alkulukujakaumasta - tunnettu Riemannin zeta-funktio ja siihen liittyvä lause, itse asiassa hypoteesi, koska sitä ei ole vielä todistettu - tämä on yksi vuosituhannen seitsemästä ongelmasta. Hyperkompleksiluvut, ns. kvaternionit, ovat löytäneet sovelluksensa paikannuksessa. Robootikot ymmärtävät minua täällä. Kun määritämme tai asetamme kolmiulotteisen kohteen sijainnin avaruudessa, kvaternionit ovat erittäin hyödyllisiä. Ja meidän on jo vaikeampaa tehdä ilman pääsyä tähän erittäin monimutkaiseen tilaan.
Gerolamo Cardano- Italialainen matemaatikko, insinööri, filosofi, lääkärija astrologi. Scipio del Ferron (Cardano oli heidän ensimmäinen julkaisijansa) löytämän kuutioyhtälön ratkaisukaavat, kardaanijousitus, kardaaniakseli ja Cardano-hila on nimetty hänen kunniakseen.
Kvaternioniton hyperkompleksilukujärjestelmä, joka muodostaa vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on neljä reaalilukukentän päälle. William Hamiltonin ehdotus vuonna 1843.
Jotkut salausalgoritmit perustuvat elliptisten käyrien ominaisuuksiin tai tarkemmin sanottuna niiden algebrallisiin ominaisuuksiin.Mutta kaikki alkoi DiophantuksestaAleksandrialainen 3. vuosisadalla jKr yritti löytää ratkaisun tähän yhtälöön: y * (6-y) = x3-x. 1700-luvun lopulla ja 1700-luvun alussa Newton yritti myös ratkaista sen. Kaikesta tuli koko teoria, jonka avulla voimme salata tiedot riittävän nopeasti, jotta niiden salauksen purkaminen vie huomattavasti enemmän aikaa. Eli saamme tällaisen mekanismin kryptografisesti - algoritmin.
Riemannin integraalin geometrinen merkitys. Kuva: commons.wikimedia.org
Eulerin siltojen ongelma: onko olemassa reittiä kiertää kunkin Königsbergin sillan ympäri vain kerran - nykyään melkein kuka tahansa olympialaisten osallistuja voi ratkaista sen.Tämä 1700-luvun kysymys, sitten vielä käytännössäsovellettavissa, synnytti kokonaisen matematiikan alueen - topologian. Nykyään sitä käytetään esimerkiksi robotiikassa. Manipulaattorissa on määritystila. Esimerkiksi kahden linkin manipulaattorille tämä on torus. Mutta torus on selvä topologinen kohde: jos otamme kaksi pistettä torukseen, voimme sanoa näiden kahden pisteen välisestä liikeradasta, minimaalisuudesta ja niin edelleen. Eli ilmestyy koko analyysialue. Ja jos manipulaattori on kolmiyhteinen, niin pinta muuttuu paljon monimutkaisemmaksi, ja optimaalisen polun löytäminen tai jopa vain polun löytäminen on suuruusluokan. Täällä ei voi tehdä ilman topologiaa.
Seitsemän sillan ongelma. Kuva: studfile.net
Äärettömän pieni analyysi, topologia ja elliptiset käyrät osoittavat, että monet ihmiset ovat olleet mukana näiden kenttien kehittämisessä.1700-luvun jälkeen matematiikasta on jo tulossaammattitiede, toisin sanoen ulkopuolisella henkilöllä ei ole käytännössä mitään mahdollisuuksia saavuttaa merkittävää menestystä siinä maailmanlaajuisesti. Toinen opinnäytetyö on osoittautunut todistetuksi. Nämä ihmiset ovat harjoittaneet matematiikkaa koko elämänsä, eivät toivoneet, että heidän erityistuloksensa ovat käytännössä käyttökelpoisia.
Keinona kuvata luontoa
Pahamaineinen Higgs Boson, joka tietysti ennen kuin se löydettiin ja tallennettiin, laskettiin ensin.Toisin sanoen oli olemassa koko laskelmiin perustuva teoria.Teoria, jonka mukaan tällaisen hiukkasen on oltava olemassa ja sillä on oltava tiettyjä ominaisuuksia. Tämä osoittaa, että matematiikan avulla voit saada uutta tietoa luonnosta. Palataan takaisin alkuun: että matematiikka on tiede tietyistä rakenteista, joiden ominaisuudet tiedämme vain, ja sitten katsomme, mitä tästä tulee. Higgsin bosonilla, jota ei vielä tiedetty tuolloin, mutta jo tutkijoiden oletusten mukaan, olisi pitänyt olla tiettyjä ominaisuuksia.
Toinen esimerkki on yhdeksäs planeetta.Venäläinen tiedemies Batygin, joka on nytopettaa Yhdysvalloissa, laski ensin yhdeksännen planeetan kiertorata ennen kuin se löydettiin. Eli joidenkin laskelmien mukaan tämän planeetan olisi pitänyt olla olemassa, ja sitten se löydettiin jo lasketusta pisteestä.
Osoittautuu, että matematiikka on perustiede.Mutta monet sanovat, että matematiikka on helppoakurinalaisuutta luonnontieteiden palveluksessa, ja osittain he ovat oikeassa. Ja jopa Kolmogorov olisi samaa mieltä heidän kanssaan, joka Courantin ja Robbinsin kirjan esipuheessa sanoi, että matematiikka on erottamaton sen käytännön sovelluksista.
Andrey Kolmogorov- Neuvostoliiton matemaatikko, yksi perustajistamodernin todennäköisyysteorian, hän sai perustavanlaatuisia tuloksia topologiasta, geometriasta, matemaattisesta logiikasta, klassisesta mekaniikasta, turbulenssiteoriasta, algoritmien monimutkaisuusteoriasta, informaatioteoriasta, funktioteoriasta ja monilta muilta matematiikan ja sen sovellusten aloilta.
Richard Courant- Saksalainen ja amerikkalainen matemaatikko, kouluttaja jatieteellinen järjestäjä. Hänet tunnetaan klassisen suositun matematiikan kirjan "What is Mathematics?" kirjoittajana ja myös yhtenä Courant-Friedrichs-Lewyn kriteerin kirjoittajista.
Herbert Robbins- Amerikkalainen matemaatikko ja tilastotieteilijä. Robbinsin lemma, Robbinsin algebra, Robbinsin lause ja muut termit on nimetty hänen mukaansa.
Weil sanoo, että kysymys matematiikan perusteista ja siitä, mitä se lopulta edustaa, on edelleen avoin.Eikä ole tunnettua suuntaa, joka sallisilopulta löytää lopullisen vastauksen tähän kysymykseen. Voimmeko odottaa, että kaikki matemaatikot saavat sen joskus ja tunnustavat sen? Weil huomauttaa, että matematiikan opiskeluprosessi, matematisointi, on luova prosessi, kun ihmiset, toivoen tulostensa, työnsä tulosten käytännön soveltamista, vain osallistuvat tähän prosessiin. Mutta tosiasia, että hän kuvaa maailmaa, toivon, että olen vakuuttanut teidät, siitä ei ole enää epäilyksiä. Matematiikka kuvaa todella maailmaa, eikä ole luonnontieteitä, jotka eivät käytä matemaattista laitetta. Nykyaikaisessa maailmassa yhteiskuntatieteet, mukaan lukien sosiologia, käyttävät matemaattisia menetelmiä tutkimusmenetelminä.
André Weil- Ranskalainen matemaatikko, joka vaikutti merkittävästipanos algebralliseen geometriaan ja topologiaan, Bourbaki-ryhmän jäsen. Tärkeimmät algebrallisen geometrian alan työt, jotka hän pystyi perustelemaan vaaditulla tarkkuudella, saivat tärkeitä tuloksia funktionaalisessa analyysissä, erityisesti mitta- ja integraatioteoriassa topologisissa ryhmissä ja lukuteoriassa, joihin hän sovelsi homologisen algebran ja funktionaalisen analyysin laitteistoa.
Katso myös:
Ensimmäinen tarkka maailmankartta luotiin. Mitä vikaa kaikilla muilla on?
Algoritmi on löytänyt uuden salaperäisen kerroksen Maan sisältä
Uranus on saanut aurinkokunnan omituisimman planeetan tilan. Miksi?