Science des structures ou juste des calculs?
"Britannica dit que les mathématiques sont la science des structures,
Le paradoxe de Russell- découvert en 1901 par Bertrand Russellparadoxe de la théorie des ensembles (antinomie), démontrant l'incohérence du système logique de Frege, qui était une des premières tentatives de formalisation de la théorie naïve des ensembles de Georg Cantor.
Le paradoxe peut être décrit comme suit.Acceptons d'appeler un ensemble "ordinaire" s'il n'est pas son propre élément. Par exemple, la multitude de toutes les personnes est "ordinaire" parce que la multitude elle-même n'est pas une personne. Un exemple d'ensemble «inhabituel» est l'ensemble de tous les ensembles, car il est lui-même un ensemble et, par conséquent, est lui-même son propre élément.
Système d'axiomes de Zermelo-Fraenkel (ZF)- option la plus largement utiliséethéorie des ensembles axiomatiques. Formulée par Ernst Zermelo en 1908 pour surmonter les paradoxes de la théorie des ensembles, puis affinée par Abraham Fraenkel en 1921. Le système d'axiomes est écrit dans le langage de la logique du premier ordre.
Je vais essayer de vous prouver que les mathématiques sont une science fondamentale.La science fondamentale devrait avoir les éléments suivantspropriétés: ses résultats doivent être universels; ses tâches ne devraient pas inclure initialement la mise en œuvre pratique des résultats obtenus; et cela nous permet d'acquérir de nouvelles connaissances sur la nature, c'est-à-dire d'avoir un pouvoir prédictif.
Il n'y a aucun doute sur l'universalité des résultats des mathématiques.C’est le point le plus simple, donc il vient en premier. En effet, même au niveau « deux fois deux font quatre » : à tout moment et sur n'importe quel continent, ce sera bien sûr quatre.
Comment les outils pratiques sont nés d'idées pures
Il existe quatre branches des mathématiques qui se sont développées à partir d’une idée complètement abstraite.Tout d'abord, une analyse de l'infinitésimal,maintenant appelée analyse mathématique. Tout a commencé avec le fait que vraisemblablement les Antiphones au 5ème siècle avant JC ont proposé une méthode d'épuisement. Cela s'appelle ça maintenant. En utilisant cette méthode, vous pouvez trouver la zone des formes dont les limites ne sont pas des segments de ligne. Par exemple, l'aire d'un cercle. S'il y a un cercle, il peut être enfermé, par exemple, dans un pentagone, et également inscrit dans un pentagone. La zone du cercle se révélera être quelque chose entre les deux. Si vous remplacez le pentagone par un six, sept et octogone, la précision de l'approximation augmentera. Plus le nombre de côtés de notre polygone, qui est inscrit et décrit autour du cercle, est élevé, meilleure est notre approximation.
Méthode d'épuisement. Photo: commons.wikimedia.org
Mais l'aire d'un cercle est proportionnelle au carré du rayon et le coefficient de proportionnalité est une sorte de nombre.Des estimations de ce nombre ont été proposées:par exemple, Archimède a suggéré qu'il est à peu près 22/7, cette estimation nous permet d'obtenir une précision à deux décimales. Et le tristement célèbre Zu Chongzhi a déjà offert une bien meilleure estimation: 355/113, déjà six décimales. En fin de compte, il a été prouvé que pi est un nombre irrationnel et même transcendantal, c'est-à-dire que ce n'est pas un nombre algébrique.
Zu Chongzhi- Mathématicien et astronome chinois.Comment un astronome a déterminé avec une grande précision les périodes de révolution sidérale des planètes du système solaire. Développement d'un nouveau calendrier prenant en compte le phénomène de précession. Comment le premier mathématicien au monde a calculé pi jusqu'à la septième décimale, lui donnant une valeur comprise entre 3,1415926 et 3,1415927 ; une valeur plus précise n'a été calculée que mille ans plus tard.
Le principe de Cavalieri est très simple : si vous avez deux corps volumétriques de même hauteur et qu'à chaque niveau les zones d'excision sont les mêmes, alors les volumes de ces corps sont les mêmes.Ce principe convient à la recherche de volumes.corps dont les faces ne sont pas nécessairement plates. Par exemple, un cône. De telles approches complètement théoriques au XVIIe siècle, le calcul différentiel et intégral se développe déjà, à l'origine de deux scientifiques - Newton et Leibniz, qui ont développé ce domaine à peu près au même moment. L'application pratique de leurs travaux aujourd'hui: la recherche de la longueur de la courbe et de la tangente à la sphère, la divergence, les rotors, et même une distribution normale bidimensionnelle, grâce à laquelle on peut rechercher les probabilités d'événements de construction complexe.
Bonaventure Cavalieri- Mathématicien italien, précurseurl'analyse mathématique, le représentant le plus éminent et le plus influent de la « géométrie des indivisibles ». Les principes et méthodes qu'il a proposés ont permis, avant même la découverte de l'analyse mathématique, de résoudre avec succès de nombreux problèmes de nature analytique.
Principe Cavalieri. Photo : obzor.lt
Au 16ème siècle, Gerolamo Cardano a introduit le concept d'un nombre complexe.Dans ses œuvres, les nombres complexes sont décrits commedes structures complètement raffinées et inutiles, raffinées est une caractéristique positive, et inutiles - eh bien, nous comprenons. Il n'en voyait absolument aucune utilité, mais essaya néanmoins de développer cette théorie. Plus tard, il est devenu évident qu’il s’agissait d’un outil utile dans de nombreux domaines. Albert Einstein serait d'accord. Les exemples incluent le calcul des circuits électriques CA, qui est beaucoup plus simple en utilisant des fonctions complexes et significatives. Toutes sortes de théorèmes sur la distribution des nombres premiers - la fonction zêta bien connue de Riemann et le théorème qui lui est associé, une hypothèse en fait, car non encore prouvée - c'est l'un des sept problèmes du millénaire. Les nombres hypercomplexes, appelés quaternions, ont trouvé leur application dans le positionnement. Les roboticiens me comprendront ici. Lorsque nous déterminons ou définissons la position d’un objet tridimensionnel dans l’espace, les quaternions sont extrêmement utiles. Et il nous est déjà plus difficile de se passer de cet espace hyper-complexe.
Gerolamo Cardano- Mathématicien, ingénieur, philosophe, médecin italienet astrologue. Les formules de résolution de l'équation cubique découvertes par Scipio del Ferro (Cardano fut leur premier éditeur), la suspension à cardan, l'arbre à cardan et le réseau de Cardano sont nommés en son honneur.
Quaternionsest un système de nombres hypercomplexes qui forme un espace vectoriel de dimension quatre sur le champ des nombres réels. Proposé par William Hamilton en 1843.
Certains algorithmes de chiffrement s'appuient sur les propriétés des courbes elliptiques, ou plus précisément sur leurs propriétés algébriques.Mais tout a commencé quand DiophantusAlexandrie au 3ème siècle après JC a essayé de trouver une solution à cette équation: y * (6-y) = x3-x. À la fin du 17e et au début du 18e siècle, Newton a également tenté de le résoudre. Tout s'est transformé en une théorie complète, qui nous permet de crypter les données assez rapidement pour que leur décryptage prenne beaucoup plus de temps. Autrement dit, nous obtenons un tel mécanisme de manière cryptographique - un algorithme.
La signification géométrique de l'intégrale de Riemann. Photo: commons.wikimedia.org
Le problème des ponts d'Euler : existe-t-il un itinéraire pour contourner chaque pont de Königsberg une seule fois ? Aujourd'hui, presque tous les participants aux Olympiades peuvent le résoudre.Cette question du XVIIIe siècle, alors encore pratiquementinapplicable, a donné naissance à tout un domaine de mathématiques - la topologie. Aujourd'hui, il est utilisé, par exemple, en robotique. Le manipulateur dispose d'un espace de configuration. Par exemple, pour un manipulateur à deux liens, il s'agit d'un tore. Mais un tore est un objet topologique défini: si l'on prend deux points sur un tore, on peut dire de la trajectoire du mouvement entre ces deux points, de la minimalité, etc. Autrement dit, tout un domaine d'analyse apparaît. Et si le manipulateur est à trois liaisons, alors la surface devient beaucoup plus compliquée, et la tâche de trouver un chemin optimal, ou même simplement de trouver un chemin, est de plusieurs ordres de grandeur. Ici, vous ne pouvez pas vous passer de topologie.
Le problème des sept ponts. Photo: studfile.net
L'analyse infinitésimale, la topologie, les courbes elliptiques prouvent que de nombreuses personnes ont été impliquées dans le développement de ces domaines.Et après le 18e siècle, les mathématiques deviennent déjàla science professionnelle, c'est-à-dire qu'une personne de l'extérieur n'a pratiquement aucune chance d'y parvenir de manière significative au niveau mondial. Il s'avère que la deuxième thèse a fait ses preuves. Ces personnes ont fait des mathématiques toute leur vie, sans espérer que leurs résultats spécifiques seront applicables dans la pratique.
Pour décrire la nature
Le fameux boson de Higgs, qui, bien entendu, a été calculé pour la première fois avant d'être découvert et enregistré.Autrement dit, il y avait toute une théorie basée sur des calculs.La théorie selon laquelle une telle particule doit exister et doit avoir certaines propriétés. Cela prouve que les mathématiques permettent d'acquérir de nouvelles connaissances sur la nature. Revenons au tout début: que les mathématiques sont la science de certaines structures, dont nous ne connaissons que les propriétés, puis nous regardons ce qui en sort. Le boson de Higgs, qui n'était pas encore connu à l'époque, mais déjà selon les hypothèses des scientifiques, aurait dû avoir certaines propriétés.
Le deuxième exemple est la neuvième planète.Le scientifique russe Batygin, qui est maintenantenseigne aux USA, a d'abord calculé l'orbite de la neuvième planète avant d'être découverte. Autrement dit, selon certains calculs, cette planète aurait dû exister, puis elle a déjà été découverte au point calculé.
Il s’avère que les mathématiques sont une science fondamentale.Mais beaucoup diront que les maths sont facilesdiscipline au service des sciences naturelles, et en partie ils auront raison. Et même Kolmogorov serait d'accord avec eux, qui, dans la préface du livre de Courant et Robbins, ont déclaré que les mathématiques sont inséparables de leurs applications pratiques.
Andrey Kolmogorov- Mathématicien soviétique, l'un des fondateursthéorie moderne des probabilités, il a obtenu des résultats fondamentaux en topologie, géométrie, logique mathématique, mécanique classique, théorie de la turbulence, théorie de la complexité des algorithmes, théorie de l'information, théorie des fonctions et dans un certain nombre d'autres domaines des mathématiques et de leurs applications.
Richard Courant- Mathématicien, éducateur et professeur allemand et américainorganisateur scientifique. Il est connu comme l'auteur du livre populaire classique sur les mathématiques, « Qu'est-ce que les mathématiques ? », et également comme l'un des auteurs du critère de Courant-Friedrichs-Lewy.
Herbert Robbins- Mathématicien et statisticien américain. Le lemme de Robbins, l'algèbre de Robbins, le théorème de Robbins et d'autres termes portent son nom.
Weil dit que la question des fondements des mathématiques et de ce qu’elles représentent en fin de compte reste ouverte.Et il n'y a pas de direction connue qui permettratrouver finalement une réponse définitive à cette question. Pouvons-nous nous attendre à ce qu'il soit un jour obtenu et reconnu par tous les mathématiciens? Weil souligne que le processus même d'étude des mathématiques, la mathématisation, est un processus créatif lorsque les gens, n'espérant pas une application pratique de leurs résultats, les résultats de leur travail, s'engagent simplement dans ce processus. Mais le fait qu'il décrit le monde, j'espère vous avoir convaincu, il n'y a plus de doute là-dessus. Les mathématiques décrivent vraiment le monde, et il n'y a pas de science naturelle qui n'utilise pas l'appareil mathématique. Dans le monde moderne, les sciences sociales, y compris la sociologie, utilisent des méthodes mathématiques comme méthodes de recherche.
André Weil- Mathématicien français qui a contribué de manière significativecontributions à la géométrie algébrique et à la topologie, membre du groupe Bourbaki. Les travaux les plus importants dans le domaine de la géométrie algébrique, qu'il a pu étayer avec le niveau de rigueur requis, ont obtenu des résultats importants en analyse fonctionnelle, notamment en théorie de la mesure et de l'intégration dans les groupes topologiques et en théorie des nombres, auxquels il appliqué l'appareil d'algèbre homologique et d'analyse fonctionnelle.
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