Créez une classification des variétés, décrivez n'importe quel graphique et prédisez comment l'orbite de la planète change - tout le monde
La topologie est une science, elle consiste à étudier les propriétés d'un objet qui ne changeront pas lorsqu'il sera déformé.
"Sullivan a changé à plusieurs reprises notre point de vue surtopologie. Il a introduit de nouveaux concepts, prouvé des théorèmes emblématiques, répondu à d'anciennes hypothèses et formulé de nouveaux problèmes qui ont fait avancer le domaine », le texte du discours du prix Abel 2022. Sa récompense était de 854 000 $.
Tout au long de son travail, Sullivan est passé d'un domaine mathématique à un autre et a résolu des problèmes en utilisant une grande variété d'outils, disent les organisateurs.
Depuis la création du prix AbelDécerné en 2003, il est devenu une récompense pour les réalisations d'une vie, explique Hans Munthe-Kaas, président du comité de l'Université de Bergen. Les 24 derniers lauréats du prix Abel sont tous des mathématiciens célèbres. «C'est formidable de faire partie de cette liste distinguée», déclare Sullivan.
À propos du gagnant
Sullivan est né à Port Huron, Michigan, en1941 et a grandi au Texas. Il a commencé sa carrière de mathématicien dans les années 1960. A cette époque, la topologie se développait rapidement, les chercheurs tentaient de classer toutes les variétés existantes.
Une variété en mathématiques est une variété topologiquel'espace qui est linéaire à petite échelle est indiscernable d'un plan. Mais la forme globale d'une variété ne ressemble pas toujours à la forme d'un espace plat, tout comme la surface d'une sphère diffère de la surface d'une feuille à deux dimensions. Dans ce cas, ces objets sont dits topologiquement distincts.
Quelle est l'essence du travail du lauréat ?
- Topologie
Au milieu du XXe siècle, les mathématiciens ont réalisé que la topologie des variétés fonctionnait de manières complètement différentes. Tout dépend du nombre de dimensions d'un objet, dit Sullivan.
L'étude de variétés comportant quatre dimensions ou moins était très similaire à la géométrie, dit-il. Les méthodes étaient également géométriques : les figures étaient découpées en morceaux puis reconstituées.
Mais pour les objets ayant un grand nombre de dimensions - cinqet plus encore - nous avons réussi à aller beaucoup plus loin. Sullivan, avec d'autres chercheurs, a créé une classification des variétés. Il a divisé les problèmes en problèmes qui pourraient également être résolus à l'aide de calculs algébriques, explique Niels Baas, mathématicien à l'Université norvégienne des sciences et technologies de Trondheim.
Sullivan a déclaré qu'il était le plus fier derésultats obtenus en 1977. Il a pu déterminer les propriétés les plus importantes de l'espace à l'aide d'un outil appelé homotopie rationnelle. C'est devenu l'une de ses œuvres les plus citées et des techniques les plus largement utilisées.
L'homotopie est une famille d'applications continues,dont la préimage et l'image sont des espaces topologiques. Autrement dit, ce que nous pouvons faire avec un objet par tension, compression et déplacement visqueux, c'est quand une partie de son voisinage est déplacée avec le point. Ceci est nécessaire pour la description algorithmique des processus et la construction de la logique de l'architecture à l'aide d'un modèle mathématique.
- Systèmes dynamiques
Dans les années 1980, Sullivan s'est intéressésystèmes dynamiques. Ce sont des systèmes qui évoluent au fil du temps : les orbites des planètes ou les changements cycliques d’une population. Ici aussi, Sullivan a apporté une contribution digne du prix Abel, estime Munthe-Kaas.
En particulier, Sullivan a prouvé le fait queGrâce à la modélisation informatique, il a été découvert par le physicien mathématicien américain Mitchell Feigenbaum. Certains nombres, désormais appelés constantes de Feigenbaum, apparaissent dans de nombreux types de systèmes dynamiques, et les travaux de Sullivan expliquent pourquoi.
"C'est une chose de savoir cela à partir d'une expérience surordinateur, et c'en est une autre de le connaître comme un théorème mathématique exact », déclare Sullivan. D'autres mathématiciens ont essayé de le prouver avec des outils existants, mais ont échoué.
- Classement graphique
Sullivan et son collègue Bill Parry ont pu formuler pour la première fois l'invariant de Parry-Sullivan, un nombre qui peut être utilisé pour créer des classifications et des systèmes dynamiques partiellement unidimensionnels.
Ils ont déclaré qu'à partir de n'importe quel graphique on peut faireune matrice d'incidence où les lignes sont des sommets et les colonnes sont des arêtes. À la suite des travaux, il s'est avéré que le déterminant de la différence dans les matrices d'incidence unitaire et carrée ne peut pas être mesuré topologiquement. Les auteurs ont décidé de l'utiliser pour décrire la structure d'un graphe.
- Comportement turbulent des liquides
Au cours des décennies qui ont suivi, Sullivan a développé une passion pourcomportement turbulent des liquides, tels que les écoulements d'eau. Il a déclaré que son rêve était de découvrir des modèles qui pourraient rendre un tel mouvement prévisible à grande échelle.
Selon le président du Comité Abel, Hans Munthe-Kaas, l'une des qualités importantes du lauréat est sa capacité à trouver des relations et des analogies entre des domaines mathématiques différents et assez éloignés.
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