Mathématiques dans la nature
Les premiers philosophes grecs anciens ont tenté de décrire et d'expliquer l'ordre dans la nature,
En 1202, Léonard de Fibonacci découvreSéquence numérique de Fibonacci au monde occidental dans son Livre du Boulier. Fibonacci a donné un exemple biologique (inexistant) de la croissance numérique d'une population théorique de lapins. En 1917, Darcy Thompson (1860-1948) a publié son livre Sur la croissance et la forme. Sa description de la relation entre la phyllotaxie (la disposition des feuilles sur une tige de plante) et les nombres de Fibonacci (la relation mathématique entre les schémas de croissance en spirale des plantes) est devenue un classique. Il a montré que des équations simples pouvaient décrire les schémas apparemment complexes de croissance en spirale des cornes d’animaux et des coquilles de mollusques.
Turing, Plateau, Haeckel, Zeising – des personnalités célèbres de l’art et de la science ont recherché les lois strictes des mathématiques et les ont trouvées dans la beauté de la nature.
La spirale de Fibonacci est une progression géométrique de la beauté
Les spirales sont courantes parmi les plantes et certainesanimaux, notamment parmi les mollusques. Par exemple, chez les mollusques nautilidés, chaque cellule de leur coquille est une copie approximative de la suivante, mise à l'échelle par une constante et disposée selon une spirale logarithmique.
On le trouve le plus souvent dans la natureSuite de Fibonacci. Cela commence par les nombres 1 et 1, puis chaque nombre suivant est obtenu en additionnant les deux nombres précédents. Par conséquent, après 1 et 1, le nombre suivant est 2 (1 + 1). Le nombre suivant est 3 (1 + 2), puis 5 (2 + 3) et ainsi de suite.
Des spirales dans les plantes sont observées dans l'arrangementfeuilles sur la tige, ainsi que dans la structure du bourgeon et des graines d'une fleur - par exemple, dans un tournesol ou dans la structure du fruit de l'ananas et du hareng. La séquence de Fibonacci peut également être vue dans une pomme de pin, où un grand nombre de spirales sont disposées dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens inverse. Ces mécanismes s'expliquent de différentes manières : par les mathématiques, la physique, la chimie, la biologie. Chacune des explications est correcte en soi, mais il faut toutes les prendre en compte.
Physiquement, les spirales sont des configurationsles basses énergies qui surgissent spontanément par l'auto-organisation des processus dans les systèmes dynamiques. Du point de vue de la chimie, une hélice peut être formée par un processus de réaction-diffusion impliquant à la fois l'activation et l'inhibition. La phyllotaxie est contrôlée par des protéines qui contrôlent la concentration de l'hormone végétale auxine, qui active la croissance de la tige moyenne, ainsi que d'autres mécanismes pour contrôler l'angle relatif entre le bourgeon et la tige. Biologiquement, les feuilles sont espacées aussi loin que la sélection naturelle le permet, car elle maximise l'accès aux ressources, en particulier la lumière du soleil, pour la photosynthèse.
Fractales - répétition sans fin (presque)
Les fractales sont un autre intéressantune forme mathématique que tout le monde a vue dans la nature. La fractale elle-même est une forme répétitive auto-similaire, ce qui signifie que la même forme de base apparaît encore et encore.
En d’autres termes, si vous effectuez un zoom avant ou arrière, la même chose sera visible partout.
Ces structures mathématiques cycliques auto-similaires, qui ont une dimension fractale, sont assez courantes, notamment chez les plantes. L'exemple le plus célèbre est la fougère.
Les feuilles de fougère sont un exemple typique d'une rangée qui se répète d'elle-même.
D’ailleurs, une répétition infinie est impossible dansnature, donc tous les modèles fractals ne sont que des approximations (approximations). Par exemple, les feuilles des fougères et de certaines plantes ombellifères (par exemple le carvi) sont auto-similaires jusqu'au deuxième, troisième ou quatrième niveau.
Des motifs en forme de fougère se produisent égalementdans de nombreuses plantes (brocoli, chou romanesco, couronnes d'arbres et feuilles de plantes, fruits d'ananas), animaux (bryozoaires, coraux, hydroïdes, étoiles de mer, oursins). En outre, des motifs fractaux ont lieu dans la structure de la ramification des vaisseaux sanguins et des bronches chez les animaux et les humains.
Les premiers exemples d'ensembles auto-similaires avec desLes propriétés sont apparues au XIXe siècle à la suite de l'étude des fonctions continues non différentiables (par exemple, la fonction de Bolzano, la fonction de Weierstrass, l'ensemble de Cantor). Le terme «fractale» a été introduit par Benoit Mandelbrot en 1975 et est devenu largement connu avec la publication en 1977 de son livre «The Fractal Geometry of Nature».
Ensemble de Mandelbrot - motif fractal classique
Les fractales ont acquis une popularité particulière avec le développement des technologies informatiques, qui ont permis de visualiser efficacement ces structures.
Les polygones sont un génie de l'ingénierie
Avec suffisamment d’observation, il est facile de détecter une géométrie stricte dans la nature vivante. Les hexagones (les hexagones réguliers) jouissent d’une estime particulière.
Par exemple, les nids d'abeilles dans lesquels les abeilles stockentLe nectar doré est une merveille d'ingénierie, un ensemble de cellules en forme de prisme avec un hexagone régulier à la base. L'épaisseur des parois de cire est strictement définie, les alvéoles s'écartent légèrement de l'horizontale pour que le miel visqueux ne s'écoule pas, et les nids d'abeilles sont en équilibre, compte tenu de l'influence du champ magnétique terrestre. Mais cette structure, sans dessins ni prévisions, est construite par de nombreuses abeilles, qui travaillent simultanément et coordonnent d'une manière ou d'une autre leurs tentatives pour rendre les nids d'abeilles identiques.
Si vous soufflez des bulles à la surface de l'eau,pour les rassembler, ils prendront la forme d'hexagones - ou du moins s'en approcheront. Vous ne verrez jamais un tas de bulles carrées: même si les quatre murs se touchent, ils se réorganiseront immédiatement en une structure à trois côtés, entre lesquels il y aura des angles à peu près égaux de 120 degrés. Pourquoi cela arrive-t-il?
La mousse, c'est beaucoup de bulles.Dans la nature, il existe des mousses fabriquées à partir de différents matériaux. La mousse constituée de films de savon obéit aux lois de Plateau, selon lesquelles trois films de savon se rejoignent sous un angle de 120 degrés et quatre faces se rejoignent à chaque sommet d'un tétraèdre sous un angle de 109,5 degrés. Les lois de Plateau exigent alors que les films soient lisses et continus et présentent une courbure moyenne constante en chaque point. Par exemple, un film peut rester presque plat en moyenne, courbé dans une direction (par exemple de gauche à droite), tout en se courbant dans la direction opposée (par exemple de haut en bas). Lord Kelvin a formulé le problème de l'emballage de cellules de même volume de la manière la plus efficace sous forme de mousse en 1887 ; sa solution est un nid d'abeilles cubique aux bords légèrement incurvés qui satisfont aux lois du plateau. Cette solution est restée la meilleure jusqu'en 1993, lorsque Denis Waeren et Robert Phalan ont proposé la structure Waeren-Phalen. Cette structure a ensuite été adaptée pour le mur extérieur du complexe national de natation de Pékin, construit pour accueillir les Jeux olympiques d'été de 2008.
La nature s'intéresse à l'économie.Les bulles et le film de savon sont composés d'eau (et d'une couche de molécules de savon) et la tension superficielle comprime la surface du liquide afin qu'il occupe la plus petite surface. Par conséquent, lorsque les gouttes de pluie tombent, elles prennent une forme proche de la sphère: une sphère a la plus petite surface par rapport aux autres figures du même volume. Sur une feuille de cire, des gouttelettes d'eau sont compressées en petites billes pour la même raison.
La tension superficielle explique également le motifqui forment des bulles ou de la mousse. La mousse vise une conception dans laquelle la tension superficielle totale est minimale, ce qui signifie que la surface de la membrane de savon doit également être minimale. Mais la configuration des parois des bulles doit aussi être forte du point de vue mécanique : la tension dans les différentes directions à l'"intersection" doit être parfaitement équilibrée (selon le même principe, un équilibre est nécessaire lors de la construction des parois de la cathédrale). Le collage à trois voies dans un film à bulles et le collage à quatre voies dans la mousse sont des combinaisons qui permettent d'atteindre cet équilibre.
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