מדעי מבנה או סתם חישובים?
"בריטניקה אומרת שמתמטיקה היא מדע המבנים,
הפרדוקס של ראסל- התגלה בשנת 1901 על ידי ברטרנד ראסלפרדוקס תיאורטי של קבוצות (אנטינומיה), המדגים את חוסר העקביות של המערכת הלוגית של פרגה, שהיה ניסיון מוקדם לפורמל את תורת הקבוצות הנאיבית של גאורג קנטור.
ניתן לתאר את הפרדוקס באופן הבא.בואו נסכים לקרוא לסט "רגיל" אם זה לא האלמנט שלו. למשל, ההמון של כל האנשים הוא "רגיל" מכיוון שההמון עצמו אינו אדם. דוגמה לסט "יוצא דופן" הוא מערך כל הסטים, מכיוון שהוא בעצמו סט, ולכן הוא בעצם היסוד שלו.
מערכת אקסיומה של זרמו-פרנקל (ZF)- האפשרות הנפוצה ביותרתורת הקבוצות האקסיומטית. נוסח על ידי ארנסט זרמלו ב-1908 כדי להתגבר על הפרדוקסים של תורת הקבוצות, ולאחר מכן שוכלל על ידי אברהם פרנקל ב-1921. מערכת האקסיומות כתובה בשפת היגיון מסדר ראשון.
אנסה להוכיח לך שמתמטיקה היא מדע יסוד.מדע בסיסי צריך להכיל את הדברים הבאיםמאפיינים: תוצאותיה חייבות להיות אוניברסליות; משימותיה לא צריכות לכלול יישום מעשי בתחילה של התוצאות שהושגו; וזה מאפשר לנו להשיג ידע חדש על הטבע, כלומר, להיות בעל כוח ניבוי.
אין ספק באוניברסליות של תוצאות המתמטיקה.זו הנקודה הקלה ביותר, אז היא קודם כל. ואכן, גם ברמה של "פעמיים שתיים זה ארבע": בכל זמן ובכל יבשת זה יהיה, כמובן, ארבע.
כיצד נולדו כלים מעשיים מרעיונות טהורים
ישנם ארבעה ענפים של מתמטיקה שהתפתחו מרעיון מופשט לחלוטין.ראשית, ניתוח של האינסופי, מהנקרא כעת ניתוח מתמטי. הכל התחיל בכך שככל הנראה, אנטיפונים במאה החמישית לפני הספירה הציעו שיטת מיצוי. זה נקרא כך עכשיו. בשיטה זו תוכלו למצוא את אזור הצורות שגבולותיהם אינם קטעי קו. לדוגמא, שטח המעגל. אם יש מעגל, ניתן לסגור אותו למשל בחומש, וגם לרשום בחומש. שטח המעגל יתגלה כמשהו שביניהם. אם אתה מחליף את המחומש בשישה, שבעה ומתומן, אז הדיוק של הקירוב יגדל. ככל שמספר דפנות המצולע שלנו שרשום ומתואר סביב המעגל, כך הקירוב שלנו יתגלה טוב יותר.
שיטת תשישות. צילום: commons.wikimedia.org
אבל שטח המעגל פרופורציונלי לריבוע הרדיוס, ומקדם המידתיות הוא מספר כלשהו.הוצע אומדנים למספר זה:לדוגמא, ארכימדס הציע שמדובר בערך ב 22/7, אומדן זה מאפשר לנו להשיג דיוק לשני מקומות עשרוניים. וזו צ'ונג-ג'י הידוע לשמצה כבר הציע הערכה טובה בהרבה: 355/113, כבר שש מקומות עשרוניים. בסופו של דבר הוכח כי פי הוא מספר לא רציונלי ואפילו טרנסצנדנטלי, כלומר, זה לא מספר אלגברי.
זו צ'ונג-ג'י- מתמטיקאי ואסטרונום סיני.כיצד קבע אסטרונום את תקופות המהפכה הצדדיות של כוכבי הלכת של מערכת השמש בדיוק גבוה. פיתח לוח שנה חדש תוך התחשבות בתופעת הקדנציה. כיצד חישב המתמטיקאי הראשון בעולם את ה-pi עד הנקודה העשרונית השביעית, ונתן לו ערך בין 3.1415926 ל-3.1415927; ערך מדויק יותר חושב רק אלף שנים מאוחר יותר.
העיקרון של Cavalieri הוא פשוט מאוד: אם יש לך שני גופים נפחיים באותו גובה ובכל רמה אזורי הכריתה זהים, אז הנפחים של הגופים האלה זהים.עיקרון זה מתאים למציאת כרכים.גופים שפניהם אינן בהכרח שטוחות. למשל חרוט. מגישות תיאורטיות כאלה לחלוטין עד המאה ה -17, כבר מתפתח חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, שמקורותיו שני מדענים - ניוטון ולייבניץ, שפיתחו אזור זה בערך באותה תקופה. היישום המעשי של עבודתם כיום: חיפוש אורך העקומה והמשיק לכדור, סטייה, רוטורים ואפילו התפלגות נורמלית דו-ממדית, שבזכותם ניתן לחפש את ההסתברויות לאירועים מורכבים מורכבים.
Bonaventure Cavalieri- מתמטיקאי איטלקי, מבשרניתוח מתמטי, הנציג הבולט והמשפיע ביותר של "הגיאומטריה של הבלתי ניתנים לחלוקה". העקרונות והשיטות שהציג אפשרו, עוד לפני גילוי הניתוח המתמטי, לפתור בהצלחה בעיות רבות בעלות אופי אנליטי.
עקרון קבליירי. תמונה: obzor.lt
במאה ה -16 הציג ג'רולמו קרדאנו את המושג מספר מורכב.בעבודותיו, מספרים מרוכבים מתוארים כמבנים מעודנים וחסרי תועלת לחלוטין, מעודן הוא מאפיין חיובי, וחסר תועלת - ובכן, אנחנו מבינים. הוא לא ראה בהם שום שימוש, אבל בכל זאת ניסה לפתח את התיאוריה הזו. מאוחר יותר התברר כי מדובר בכלי שימושי לתחומים רבים. אלברט איינשטיין יסכים. דוגמאות כוללות חישוב של מעגלים חשמליים AC, שהוא הרבה יותר פשוט באמצעות פונקציות משמעותיות באופן מורכב. כל מיני משפטים על התפלגות המספרים הראשוניים - פונקציית הזטה הידועה של רימן והמשפט הקשור אליה, השערה, למעשה, כי היא עדיין לא הוכחה - זו אחת משבע הבעיות של המילניום. מספרים היפר-מורכבים, מה שנקרא קווטרניונים, מצאו את יישומם במיקום. רובוטיסטים יבינו אותי כאן. כאשר אנו קובעים או מגדירים את המיקום של עצם תלת מימדי במרחב, קווטרניונים שימושיים ביותר. וכבר קשה לנו לעשות בלי גישה לחלל ההיפר-מורכב הזה.
ג'רולמו קרדאנו- מתמטיקאי, מהנדס, פילוסוף, רופא איטלקיואסטרולוג. הנוסחאות לפתרון המשוואה המעוקבת שגילה Scipio del Ferro (קרדנו היה המפרסם הראשון שלהם), מתלה הגימבל, ציר הקרדן וסריג הקרדנו נקראים לכבודו.
רביעיותהיא מערכת של מספרים היפר-מורכבים היוצרים מרחב וקטורי של ממד ארבע על פני שדה המספרים הממשיים. הוצע על ידי ויליאם המילטון ב-1843.
כמה אלגוריתמי הצפנה מבוססים על מאפיינים של עקומות אליפטיות, או ליתר דיוק, על התכונות האלגבריות שלהן.אבל הכל התחיל כשדיופנטוסאלכסנדריאן במאה ה -3 לספירה ניסה למצוא פיתרון למשוואה זו: y * (6-y) = x3-x. בסוף המאה ה -17 ותחילת המאה ה -18 ניוטון ניסה גם לפתור את זה. הכל הפך לתיאוריה שלמה, המאפשרת לנו להצפין נתונים במהירות מספיק כדי שהפענוח שלהם ייקח זמן רב יותר באופן משמעותי. כלומר, אנו מקבלים מנגנון כזה באופן קריפטוגרפי - אלגוריתם.
המשמעות הגיאומטרית של אינטגרל רימן. צילום: commons.wikimedia.org
בעיית הגשרים של אוילר: האם יש מסלול להקיף כל גשר בקניגסברג רק פעם אחת - היום כמעט כל משתתף אולימפיאדה יכול לפתור אותה.שאלה זו של המאה ה -18, אז עדיין מעשיתלא ישים, הוליד תחום שלם במתמטיקה - טופולוגיה. כיום משתמשים בו למשל ברובוטיקה. למניפולטור יש מרחב תצורה. לדוגמא, עבור מניפולטור דו-קישורי, זהו טורוס. אך טורוס הוא אובייקט טופולוגי מובהק: אם ניקח שתי נקודות על טורוס, נוכל לומר על מסלול התנועה בין שתי הנקודות הללו, על מינימליות וכו '. כלומר מופיע אזור שלם לניתוח. ואם המניפולטור הוא בעל שלושה קישורים, הרי שהשטח הופך להיות הרבה יותר מסובך, והמשימה למצוא נתיב אופטימלי כלשהו, או אפילו רק למצוא נתיב, היא סדרי גודל. כאן אינך יכול להסתדר ללא טופולוגיה.
בעיית שבעת הגשרים. צילום: studfile.net
ניתוח אינפיניטסימלי, טופולוגיה, עקומות אליפטיות מוכיחים שאנשים רבים היו מעורבים בפיתוח התחומים הללו.ואחרי המאה ה -18 המתמטיקה כבר הופכת להיותלמדע המקצועי, כלומר לאדם מבחוץ אין כמעט שום סיכוי להשיג בו הצלחה משמעותית ברמה העולמית. התזה השנייה, מתברר, הוכחה. אנשים אלה עוסקים במתמטיקה כל חייהם, ולא מקווים שהתוצאות הספציפיות שלהם יהיו יישומיות.
כדרך לתאר את הטבע
בוזון היגס הידוע לשמצה, שכמובן, לפני שהתגלה ונרשם, חושב לראשונה.כלומר, הייתה תיאוריה שלמה שהתבססה על חישובים.התיאוריה שחלקיק כזה חייב להתקיים ועליו להיות בעל תכונות מסוימות. זה מוכיח כי המתמטיקה מאפשרת לך לקבל ידע חדש על הטבע. נחזור להתחלה ממש: שמתמטיקה היא מדע של מבנים מסוימים שאנו מכירים רק את המאפיינים, ואז נבחן מה יוצא מכך. לבוזון היגס, שעדיין לא היה ידוע באותה תקופה, אך כבר על פי ההנחות של מדענים, היה צריך להיות בעל תכונות מסוימות.
הדוגמה השנייה היא כוכב הלכת התשיעי.המדען הרוסי בטיגין, שנמצא כעתמלמד בארה"ב, חישב תחילה את מסלול כוכב הלכת התשיעי לפני שהתגלה. כלומר, על פי כמה חישובים, כדור הארץ הזה היה צריך להתקיים, ואז הוא כבר התגלה בנקודה המחושבת.
מסתבר שמתמטיקה היא מדע יסוד.אבל רבים יגידו שמתמטיקה היא קלהמשמעת בשירות מדעי הטבע, ובחלקם הם יהיו צודקים. ואפילו קולמוגורוב יסכים איתם, שבקדמה לספרם של קוראנט ורובינס אמרו כי המתמטיקה אינה נפרדת מהיישומים המעשיים שלה.
אנדריי קולמוגורוב- מתמטיקאי סובייטי, אחד המייסדיםתורת ההסתברות המודרנית, הוא השיג תוצאות בסיסיות בטופולוגיה, גיאומטריה, לוגיקה מתמטית, מכניקה קלאסית, תורת הטורבולנציה, תורת מורכבות האלגוריתמים, תורת המידע, תורת הפונקציות ובמספר תחומים נוספים של מתמטיקה ויישומיה.
ריצ'רד קוראנט- מתמטיקאי גרמני ואמריקאי, מחנך ומארגן מדעי. הוא ידוע כמחבר הספר הפופולרי הקלאסי על מתמטיקה, "מהי מתמטיקה?", וגם כאחד מחברי הקריטריון של קורנט-פרידריך-לוי.
הרברט רובינס- מתמטיקאי וסטטיסטיקאי אמריקאי. הלמה של רובינס, האלגברה של רובינס, משפט רובינס ומונחים נוספים נקראים על שמו.
Вейль говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счете она собой представляет, остается открытым. ואין כיוון ידוע שיאפשרבסופו של דבר למצוא תשובה סופית לשאלה זו. האם אנו יכולים לצפות שהוא יתקבל ומתישהו יוכר על ידי כל המתמטיקאים? וייל מציין שעצם לימוד המתמטיקה, המתמטיקה, הוא תהליך יצירתי כאשר אנשים, שאינם מקווים ליישום מעשי של תוצאותיהם, תוצאות עבודתם, פשוט עוסקים בתהליך זה. אבל העובדה שהוא מתאר את העולם, אני מקווה ששכנעתי אותך, כבר אין ספק בכך. המתמטיקה באמת מתארת את העולם, ואין מדע טבע שאינו משתמש במנגנון המתמטי. בעולם המודרני מדעי החברה, כולל סוציולוגיה, משתמשים בשיטות מתמטיות כשיטות מחקר.
אנדרה וייל — французский математик, внесший значительный вклад в алгебраическую геометрию и топологию, член группы Бурбаки. Важнейшие труды в области алгебраической геометрии, которую сумел обосновать с нужным уровнем строгости, получил важные результаты в функциональном анализе, в частности в теории меры и интегрирования в топологических группах и теории чисел, к которой применил аппарат гомологической алгебры и функционального анализа.
ראה גם:
המפה המדויקת הראשונה של העולם נוצרה. מה רע בכולם?
האלגוריתם גילה שכבה מסתורית חדשה בתוך כדור הארץ
אוראנוס קיבל את מעמדו של כוכב הלכת המוזר ביותר במערכת השמש. למה?