構造科学または単なる計算？
「ブリタニカは数学は構造の科学だと言います、
ラッセルのパラドックス- 1901年にバートランド・ラッセルによって発見集合論のパラドックス (アンチノミー)。ゲオルク カントールの素朴な集合論を形式化する初期の試みであったフレーゲの論理システムの矛盾を示しています。
パラドックスは次のように説明できます。セットがそれ自体の要素でない場合は、セットを「通常」と呼ぶことに同意しましょう。たとえば、群衆自体は人ではないため、すべての人の群衆は「普通」です。 「異常な」セットの例は、それ自体がセットであり、したがってそれ自体がそれ自体の要素であるため、すべてのセットのセットです。
Zermelo-Fraenkel（ZF）公理システム- 最も広く使用されているオプション公理的な集合論。集合論のパラドックスを克服するために 1908 年に Ernst Zermelo によって定式化され、1921 年に Abraham Fraenkel によって洗練されました。公理系は一階論理の言語で書かれています。
私は数学が基礎科学であることを証明してみます。基礎科学には次のものが必要ですプロパティ：その結果は普遍的でなければなりません。そのタスクには、得られた結果の最初の実用的な実装を含めるべきではありません。そしてそれは私たちが自然についての新しい知識を得る、つまり予測力を持つことを可能にします。
数学の結果の普遍性に疑いの余地はありません。これが最も簡単なポイントなので、最初に説明します。実際、「2 倍は 4 である」というレベルであっても、いつでも、どの大陸でも、もちろん 4 になります。
純粋なアイデアから実用的なツールがどのように生まれたか
完全に抽象的なアイデアから発展した数学には 4 つの分野があります。まず、微小の分析、何現在は数学的分析と呼ばれています。それはすべて、おそらく紀元前5世紀のアンティフォナが取り尽くし法を提案したという事実から始まりました。今ではそれと呼ばれています。この方法を使用すると、境界が線分ではない形状の領域を見つけることができます。たとえば、円の面積。円がある場合は、たとえば五角形で囲むことも、五角形に内接することもできます。円の領域はその中間にあることがわかります。五角形を6角形、7角形、八角形に置き換えると、近似の精度が向上します。円の周りに内接および記述されているポリゴンの辺の数が多いほど、近似は良くなります。
取り尽くし法。写真：commons.wikimedia.org
しかし、円の面積は半径の二乗に比例し、比例係数はある種の数値です。この数の見積もりが提案されています：たとえば、アルキメデスはそれがおよそ22/7であることを示唆しました、この見積もりは私達が小数点以下2桁までの精度を得るのを可能にします。そして、悪名高い祖沖之はすでにはるかに良い見積もりを提供しています：355/113、すでに小数点以下6桁。結局、円周率は無理数であり、超越数でさえある、つまり代数的数ではないことが証明されました。
祖沖之- 中国の数学者、天文学者。天文学者が太陽系の惑星の公転周期を高精度で決定した方法。歳差運動を考慮した新しい暦を開発。世界初の数学者が円周率を小数点第 7 位まで計算し、3.1415926 ～ 3.1415927 の値を与えた方法。より正確な値が計算されたのはわずか 1,000 年後のことでした。
Cavalieri の原理は非常に単純です。同じ高さの 2 つの体積ボディがあり、各レベルでの切除領域が同じであれば、これらのボディの体積は同じになります。この原理は、ボリュームを見つけるのに適しています。面が必ずしも平らではないボディ。たとえば、コーン。このような完全に理論的なアプローチから17世紀まで、微分積分学はすでに発展しており、その起源は、この領域をほぼ同時に開発したニュートンとライプニッツの2人の科学者です。今日の彼らの研究の実際の応用：曲線の長さと球への接線、発散、回転子、さらには2次元正規分布の検索。これにより、複雑に構築されたイベントの確率を検索できます。
ボナベンチャーカバリエリ- イタリアの数学者、先駆者数学的分析。「不可分幾何学」の最も著名かつ影響力のある代表。彼が提唱した原理と方法により、数学的分析が発見される前であっても、分析的な性質を持つ多くの問題をうまく解決することが可能になりました。
カバリエリの原則。写真: obzor.lt
16世紀、ジェロラモカルダーノは複素数の概念を導入しました。彼の作品では、複素数は次のように説明されています。完全に洗練された無駄な構造、洗練されたことは前向きな特性であり、役に立たない - そうですね、私たちは理解しています。彼はそれらがまったく役に立たないと考えましたが、それでもこの理論を発展させようとしました。その後、これが多くの分野で役立つツールであることが明らかになりました。アルバート・アインシュタインも同意するでしょう。例には、AC 電気回路の計算が含まれます。これは、複雑な重要な関数を使用することではるかに簡単になります。素数の分布に関するあらゆる種類の定理 - 有名なリーマンのゼータ関数とそれに関連する定理、実際にはまだ証明されていないための仮説 - これは、ミレニアムの 7 つの問題の 1 つです。超複素数、いわゆる四元数は、測位に応用されています。ロボット工学者ならここで私を理解してくれるでしょう。空間内の 3 次元オブジェクトの位置を決定または設定する場合、クォータニオンは非常に役立ちます。そして、私たちがこの超複雑な空間にアクセスせずに行動することはすでに困難になっています。
ジェロラモカルダーノ- イタリアの数学者、エンジニア、哲学者、医師そして占星術師。スキピオ・デル・フェロ (カルダノは最初の発行者) によって発見された 3 次方程式を解くための公式、ジンバル サスペンション、カルダン シャフト、カルダノ格子は、スキピオ デル フェロにちなんで命名されました。
クォータニオンは、実数体上に 4 次元のベクトル空間を形成する超複素数系です。 1843年にウィリアム・ハミルトンによって提案されました。
一部の暗号化アルゴリズムは、楕円曲線の特性、より正確には代数的特性に基づいています。しかし、それはすべて、ディオファントスが西暦3世紀のアレクサンドリアは、この方程式の解を見つけようとしました：y *（6-y）= x3-x。 17世紀後半から18世紀初頭にかけて、ニュートンもそれを解決しようとしました。すべてが理論全体に変わりました。これにより、データを十分に迅速に暗号化できるため、データの復号化にかなりの時間がかかります。つまり、そのようなメカニズムを暗号的に取得します-アルゴリズム。
リーマン積分の幾何学的意味。写真：commons.wikimedia.org
オイラーの橋の問題: ケーニヒスベルクの各橋を 1 回だけ迂回するルートはありますか。今日では、ほとんどすべてのオリンピック参加者がこの問題を解決できます。18世紀のこの質問は、それでも実際には該当なし、数学の全領域を生み出しました-トポロジー。今日では、たとえばロボット工学で使用されています。マニピュレータには構成スペースがあります。たとえば、2リンクマニピュレータの場合、これはトーラスです。しかし、トーラスは明確な位相幾何学的オブジェクトです。トーラス上で2つのポイントを取る場合、これら2つのポイント間の移動の軌跡、最小性などについて言うことができます。つまり、分析対象の領域全体が表示されます。また、マニピュレータが3リンクの場合、サーフェスははるかに複雑になり、最適なパスを見つけるタスク、または単にパスを見つけるタスクは桁違いに大きくなります。ここでは、トポロジーなしでは実行できません。
一筆書きの問題。写真：studfile.net
微小解析、トポロジー、楕円曲線はすべて、これらの分野の発展に多くの人々が関わったことを証明しています。そして18世紀以降、数学はすでに専門的な科学、つまり外部の人は、世界レベルでそれで大きな成功を収めるチャンスは事実上ありません。 2番目の論文は証明されています。これらの人々は、彼らの特定の結果が実際に適用可能になることを期待せずに、生涯数学を行ってきました。
自然を説明する方法として
悪名高いヒッグス粒子は、もちろん発見され記録される前に初めて計算されました。つまり、計算に基づく理論全体がありました。そのような粒子が存在しなければならず、特定の特性を持たなければならないという理論。これは、数学によって自然についての新しい知識を得ることができることを証明しています。最初に戻りましょう。数学は特定の構造の科学であり、そのために私たちは特性しか知りません。次に、これから何が生まれるかを調べます。当時はまだ知られていなかったが、すでに科学者の仮定によると、ヒッグス粒子は特定の性質を持っていたはずです。
2 番目の例は第 9 惑星です。現在のロシアの科学者バティギンアメリカで教え、発見される前に最初に9番目の惑星の軌道を計算しました。つまり、いくつかの計算によれば、この惑星は存在しているはずであり、計算されたポイントですでに発見されています。
数学は基礎科学であることがわかりました。しかし、多くの人は数学は簡単だと言うでしょう自然科学の奉仕における規律、そして部分的にはそれらは正しいでしょう。そして、コルモゴロフでさえ、クーラントとロビンズによる本の序文で、数学はその実際の応用から切り離せないと言った彼らに同意するでしょう。
アンドレイ・コルモゴロフ- ソビエトの数学者、創設者の一人彼は現代の確率理論に加えて、トポロジー、幾何学、数理論理学、古典力学、乱流理論、アルゴリズム複雑性理論、情報理論、関数理論、および数学とその応用の他の多くの分野において基礎的な成果を得ました。
リヒャルト・クーラント- ドイツとアメリカの数学者、教育者、科学オーガナイザー。彼は、数学に関する古典的な人気書籍「数学とは何か?」の著者として知られており、クーラント・フリードリヒス・レヴィ基準の著者の一人としても知られています。
ハーバートロビンズ- アメリカの数学者、統計学者。ロビンズの補題、ロビンズの代数、ロビンスの定理などの用語は、彼にちなんで命名されました。
ヴェイユは、数学の基礎とそれが最終的に何を表すかという問題は未解決のままであると述べています。そして、それを可能にする既知の方向性はありません最終的に、この質問に対する決定的な答えを見つけます。いつかそれがすべての数学者によって取得され、認識されることを期待できますか？ワイルは、数学を研究するプロセスそのものである数学化は、人々が自分の結果、つまり自分の仕事の結果の実用化を望まずに、単にこのプロセスに従事するときの創造的なプロセスであると指摘します。しかし、彼が世界を描写しているという事実は、私があなたに納得させてくれることを願っています、もはやそれについて疑いはありません。数学は本当に世界を描写しており、数学の装置を使わない自然科学はありません。現代の世界では、社会学を含む社会科学は、研究の方法として数学的方法を使用しています。
アンドレ・ヴェイユ- 多大な貢献をしたフランスの数学者代数幾何学とトポロジーへの貢献、ブルバキグループのメンバー。代数幾何学の分野における最も重要な研究は、彼が必要な厳密さのレベルで実証することができ、関数解析、特に位相群における測度と積分の理論、および数論において重要な結果を得ました。ホモロジー代数と関数解析の装置を応用しました。
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