自然界の数学
最初の古代ギリシャの哲学者たちは、自然界の秩序を記述し説明しようとしました。
1202年にレオナルド・フィボナッチが発見フィボナッチ数列を彼のそろばんの本で西洋世界に伝えました。 フィボナッチは、ウサギの理論上の個体群の数的増加に関する (存在しない) 生物学的な例を示しました。 1917 年に、ダーシー トンプソン (1860–1948) は次の出版物を出版しました。彼の著書「成長と形態について」。葉序 (植物の茎上の葉の配置) とフィボナッチ数 (植物のらせん状の成長パターン間の数学的関係) の間の関係についての彼の説明は、古典となっています。彼は、動物の角や軟体動物の殻の螺旋状の成長の一見複雑なパターンを単純な方程式で説明できることを示しました。
チューリング、プラトー、ヘッケル、ツァイジングなど、芸術や科学の著名な人物たちは、厳格な数学法則を追求し、自然の美しさの中にそれを見出しました。
フィボナッチスパイラルは、美しさの等比数列です
らせんは植物によく見られるものですが、動物、特に軟体動物の中で。たとえば、オウムガイの軟体動物では、殻の各細胞は次の細胞の近似コピーであり、定数でスケールされ、対数螺旋状に配置されています。
自然界で最もよく見られるのはフィボナッチ数列。数字 1 と 1 で始まり、その後の各数字は前の 2 つの数字を加算することで得られます。したがって、1 と 1 の次の数は 2 (1 + 1) になります。次の数字は 3 (1 + 2)、その次は 5 (2 + 3) というように続きます。
植物の螺旋を配列で観察する茎の葉、花のつぼみと種子の構造、たとえばヒマワリやパイナップルやニシンの果実の構造などです。フィボナッチ数列は松ぼっくりにも見られ、膨大な数の螺旋が時計回りと反時計回りに配置されています。これらのメカニズムは、数学、物理学、化学、生物学など、さまざまな方法で説明されています。それぞれの説明はそれ自体は正しいですが、すべてを考慮する必要があります。
物理的には、スパイラルは構成です動的システムにおけるプロセスの自己組織化を通じて自発的に発生する低エネルギー。化学の観点から、ヘリックスは、活性化と阻害の両方を含む反応拡散プロセスによって形成することができます。ファイロタキシスは、茎に対する芽の相対角度を制御する他のメカニズムとともに、中茎の成長を活性化する植物ホルモンオーキシンの濃度を制御するタンパク質によって制御されます。生物学的には、葉は自然淘汰が許す限り離れて配置されています。これは、光合成のための資源、特に太陽光へのアクセスを最大化するためです。
フラクタル-無限の（ほぼ）繰り返し
フラクタルも面白いですね誰もが自然界で見たことのある数学的形式。フラクタル自体は自己相似の繰り返し形状であり、同じ基本形状が何度も現れることを意味します。
つまり、ズームインまたはズームアウトすると、どこにいても同じものが表示されます。
フラクタル次元を持つこれらの自己相似な周期的な数学的構造は、特に植物の間で非常に一般的です。最も有名な例はシダです。
シダの葉は、自己反復する列の典型的な例です。
ちなみに、無限反復は不可能です。したがって、すべてのフラクタル パターンは近似 (近似) にすぎません。たとえば、シダと一部のセリ科植物 (キャラウェイなど) の葉は、第 2、第 3、または第 4 レベルまでは自己相似です。
シダのようなパターンも発生します多くの植物（ブロッコリー、ロマネスコキャベツ、樹冠と植物の葉、パイナップル果実）、動物（コケムシ、サンゴ、ハイドロイド、ヒトデ、ウニ）。また、フラクタルパターンは、動物と人間の血管と気管支の分岐の構造で発生します。
異常な自己相似集合の最初の例プロパティは、連続的な微分不可能な関数（たとえば、ボルツァーノ関数、ワイエルシュトラス関数、カントール集合）の研究の結果として、19世紀に登場しました。 「フラクタル」という用語は、1975年にブノワマンデルブロによって導入され、1977年に彼の著書「フラクタル幾何学」の出版で広く知られるようになりました。
マンデルブロ集合-古典的なフラクタルパターン
フラクタルは、これらの構造を効果的に視覚化することを可能にしたコンピューター技術の開発で特に人気を博しました。
ポリゴンはエンジニアリングの天才です
十分な観察があれば、生きた自然の中で厳密な幾何学構造を検出するのは簡単です。六角形 (正六角形) は特別に尊重されます。
たとえば、ミツバチが蓄えている蜂の巣。ゴールデンネクターはエンジニアリングの驚異であり、底部に正六角形を備えたプリズム形のセルのセットです。ワックスの壁の厚さは厳密に定義されており、粘性のある蜂蜜が漏れないようセルは水平からわずかにずれており、地球の磁場の影響を考慮してセルは平衡状態にあります。しかし、この構造は、図面も予測もなく、多くのミツバチによって建てられています。ミツバチは同時に働き、何らかの方法で蜂の巣を同じものにしようと調整します。
水面に泡を吹くと、それらをまとめるために、それらは六角形の形を取ります-または少なくともそれに近づきます。正方形の泡の束が表示されることはありません。4つの壁が接触しても、すぐに3つの側面を持つ構造に再配置され、その間に120度のほぼ等しい角度があります。なんでこんなことが起こっているの？
泡は泡が多めです。自然界には、さまざまな材料から作られた泡が存在します。石鹸膜から作られた泡はプラトーの法則に従い、3 つの石鹸膜が 120 度の角度で結合し、4 つの面が 109.5 度の角度で四面体の各頂点で結合します。プラトーの法則は、フィルムが滑らかで連続的であり、各点で一定の平均曲率を有することを要求します。例えば、フィルムは平均してほぼ平坦なままであるが、一方向（例えば左から右）には湾曲し、同時に反対方向（例えば上から下）には湾曲する可能性がある。ケルビン卿は 1887 年に、同じ体積のセルを最も効率的な方法でフォームの形に詰め込むという問題を定式化しました。彼の解決策は、プラトーの法則を満たすわずかに湾曲したエッジを持つ立方体のハニカムです。これは、デニス ウェーレンとロバート ファランがウェーレン ファーレン構造を提案した 1993 年まで最良の解決策であり、その後、この構造は 2008 年の夏季オリンピックを開催するために建設された北京国家水泳場の外壁に採用されました。
自然は経済に関係しています。泡と石鹸膜は水（および石鹸分子の層）で構成されており、表面張力によって液体の表面が圧縮され、最小の面積を占めます。したがって、雨滴が落ちると、それらは球に近い形になります。球は、同じ体積の他の図と比較して最小の表面積を持ちます。同じ理由で、ワックスのシート上で水滴が小さなビーズに圧縮されます。
表面張力もパターンを説明します泡や泡を形成します。フォームは、総表面張力が最小になるように設計されています。つまり、石鹸膜の面積も最小にする必要があります。しかし、気泡の壁の構成は、力学の観点からも強力でなければなりません。「交差点」でのさまざまな方向の張力は完全にバランスが取れている必要があります（同じ原理に従って、壁を構築するときにバランスが必要です大聖堂の）。バブルフィルムの3方向接着とフォームの4方向接着は、このバランスを実現する組み合わせです。
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