Strukturālā zinātne vai tikai aprēķini?
"Britannika saka, ka matemātika ir zinātne par struktūrām,
Rasela paradokss- 1901. gadā atklāja Bertrāns Raselskopu teorijas paradokss (antinomija), demonstrējot Freges loģiskās sistēmas nekonsekvenci, kas bija agrīns mēģinājums formalizēt Georga Kantora naivo kopu teoriju.
Paradoksu var raksturot šādi.Piekritīsim saukt kopu par parastu, ja tas nav tās elements. Piemēram, visu cilvēku pūlis ir "parasts", jo pats pats tas nav cilvēks. "Neparasta" kopas piemērs ir visu kopu kopa, jo tā pati ir kopa un tāpēc pati par sevi ir tās elements.
Zermelo-Fraenkel (ZF) aksiomu sistēma- visplašāk izmantotā iespējaaksiomātiskā kopu teorija. Formulēja Ernsts Cermelo 1908. gadā, lai pārvarētu kopu teorijas paradoksus, un pēc tam 1921. gadā to pilnveidoja Abraham Fraenkel. Aksiomu sistēma ir uzrakstīta pirmās kārtas loģikas valodā.
Es mēģināšu jums pierādīt, ka matemātika ir fundamentāla zinātne.Pamata zinātnei jābūt šādaiīpašības: tā rezultātiem jābūt universāliem; tās uzdevumos nevajadzētu ietvert iegūto rezultātu sākotnēju praktisku īstenošanu; un tas ļauj mums iegūt jaunas zināšanas par dabu, tas ir, mums ir paredzams spēks.
Nav šaubu par matemātikas rezultātu universālumu.Šis ir vienkāršākais punkts, tāpēc tas ir pirmajā vietā. Patiešām, pat līmenī “divreiz divi ir četri”: jebkurā laikā un jebkurā kontinentā tas, protams, būs četri.
Cik praktiski instrumenti dzima no tīrajām idejām
Ir četras matemātikas nozares, kas attīstījušās no pilnīgi abstraktas idejas.Pirmkārt, bezgalīgi mazā analīze, koko tagad sauc par matemātisko analīzi. Viss sākās ar to, ka, iespējams, Antiphones 5. gadsimtā pirms mūsu ēras piedāvāja izsmelšanas metodi. To tagad sauc. Izmantojot šo metodi, jūs varat atrast to formu laukumu, kuru robežas nav līnijas segmenti. Piemēram, apļa laukums. Ja ir aplis, tad to var ieslēgt, piemēram, piecstūrī, kā arī ierakstīt piecstūrī. Apļa laukums izrādīsies kaut kas pa vidu. Ja piecstūri nomainīsit ar sešstūrainu, septiņstūri un astoņstūri, tuvināšanās precizitāte palielināsies. Jo vairāk mūsu apļveida daudzstūra malu skaits, kas ir uzrakstīts un aprakstīts ap apli, jo labāks izrādās mūsu tuvinājums.
Izsmelšanas metode. Foto: commons.wikimedia.org
Bet apļa laukums ir proporcionāls rādiusa kvadrātam, un proporcionalitātes koeficients ir sava veida skaitlis.Ir ierosinātas šī skaita aplēses:piemēram, Arhimēds ieteica, ka tas ir aptuveni 22/7, šis aprēķins ļauj mums iegūt precizitāti līdz divām zīmēm aiz komata. Un bēdīgi slavenais Zu Čongži jau ir piedāvājis daudz labāku novērtējumu: 355/113, jau sešas zīmes aiz komata. Galu galā tika pierādīts, ka pi ir iracionāls un pat pārpasaulīgs skaitlis, tas ir, tas nav algebriskais skaitlis.
Zu Čongži- ķīniešu matemātiķis un astronoms.Kā astronoms ar augstu precizitāti noteica Saules sistēmas planētu siderālos apgriezienu periodus. Izstrādāts jauns kalendārs, ņemot vērā precesijas fenomenu. Kā pasaulē pirmais matemātiķis aprēķināja pi līdz septītajai zīmei aiz komata, piešķirot tai vērtību no 3,1415926 līdz 3,1415927; precīzāka vērtība tika aprēķināta tikai tūkstoš gadus vēlāk.
Kavaljē princips ir ļoti vienkāršs: ja jums ir divi vienāda augstuma tilpuma ķermeņi un katrā līmenī izgriešanas laukumi ir vienādi, tad šo ķermeņu tilpumi ir vienādi.Šis princips ir piemērots sējumu atrašanai.ķermeņi, kuru sejas ne vienmēr ir plakanas. Piemēram, konuss. No šādām pilnīgi teorētiskām pieejām līdz 17. gadsimtam jau veidojas diferenciāls un integrāls aprēķins, kura aizsākumos ir divi zinātnieki - Ņūtons un Leibnics, kuri šo teritoriju attīstīja aptuveni vienlaikus. Viņu darba praktiskais pielietojums mūsdienās: līknes garuma un sfēras pieskares, divergences, rotoru un pat divdimensiju normālā sadalījuma meklēšana, pateicoties kuriem var meklēt sarežģīti konstruētu notikumu varbūtības.
Bonaventūra Kavaljē- itāļu matemātiķis, priekštecismatemātiskā analīze, visievērojamākais un ietekmīgākais "nedalāmo ģeometrijas" pārstāvis. Viņa izvirzītie principi un metodes ļāva jau pirms matemātiskās analīzes atklāšanas veiksmīgi atrisināt daudzas analītiskas dabas problēmas.
Kavalieri princips. Foto: obzor.lt
16. gadsimtā Gerolamo Cardano ieviesa kompleksa skaitļa jēdzienu.Viņa darbos kompleksie skaitļi ir aprakstīti kāpilnīgi rafinētas un bezjēdzīgas struktūras, rafinēts ir pozitīva īpašība, un bezjēdzīgi - labi, mēs saprotam. Viņš neredzēja tiem absolūti nekādu jēgu, bet tomēr mēģināja attīstīt šo teoriju. Vēlāk kļuva skaidrs, ka tas ir noderīgs rīks daudzās jomās. Alberts Einšteins tam piekristu. Piemēri ietver maiņstrāvas elektrisko ķēžu aprēķinus, kas ir daudz vienkāršāk, izmantojot sarežģīti nozīmīgas funkcijas. Visādas teorēmas par pirmskaitļu sadalījumu – labi zināmā Rīmaņa zeta funkcija un ar to saistītā teorēma, hipotēze, patiesībā, jo tā vēl nav pierādīta – šī ir viena no septiņām tūkstošgades problēmām. Hiperkompleksie skaitļi, tā sauktie kvaternioni, ir atraduši savu pielietojumu pozicionēšanā. Robotiķi šeit mani sapratīs. Kad mēs nosakām vai iestatām trīsdimensiju objekta pozīciju telpā, kvaterniji ir ārkārtīgi noderīgi. Un mums jau ir grūtāk iztikt bez piekļuves šai hipersarežģītajai telpai.
Gerolamo Cardano- itāļu matemātiķis, inženieris, filozofs, ārstsun astrologs. Viņam par godu ir nosauktas Scipio del Ferro (Cardano bija viņu pirmais izdevējs) atklātā kubiskā vienādojuma risināšanas formulas, kardāna piekare, kardānvārpsta un Cardano režģis.
Kvaternjoniir hiperkompleksu skaitļu sistēma, kas veido ceturtās dimensijas vektortelpu virs reālo skaitļu lauka. 1843. gadā ierosināja Viljams Hamiltons.
Daži šifrēšanas algoritmi ir balstīti uz eliptisku līkņu īpašībām vai, precīzāk, uz to algebriskajām īpašībām.Bet viss sākās, kad DiofantsAleksandrija mūsu ēras 3. gadsimtā mēģināja rast risinājumu šim vienādojumam: y * (6-y) = x3-x. 17. gadsimta beigās un 18. gadsimta sākumā to mēģināja atrisināt arī Ņūtons. Viss pārvērtās par veselu teoriju, kas ļauj pietiekami ātri šifrēt datus, lai to atšifrēšana prasītu ievērojami vairāk laika. Tas ir, mēs šādu mehānismu iegūstam kriptogrāfiski - algoritmu.
Rīmana integrāļa ģeometriskā nozīme. Foto: commons.wikimedia.org
Eilera tiltu problēma: vai Kēnigsbergā ir maršruts, lai apbrauktu katru tiltu tikai vienu reizi – šodien to var atrisināt gandrīz jebkurš olimpiādes dalībnieks.Šis 18. gadsimta jautājums, kas joprojām praktiskinav piemērojams, dzemdēja veselu matemātikas jomu - topoloģiju. Mūsdienās to izmanto, piemēram, robotikā. Manipulatoram ir konfigurācijas telpa. Piemēram, divu saišu manipulatoram tas ir tors. Bet tors ir noteikts topoloģisks objekts: ja ņemam divus punktus uz tora, mēs varam teikt par kustības trajektoriju starp šiem diviem punktiem, par minimumu utt. Tas ir, parādās vesela analīzes zona. Un, ja manipulators ir trīs saites, tad virsma kļūst daudz sarežģītāka, un uzdevums atrast kādu optimālu ceļu vai pat vienkārši atrast ceļu ir lieluma pakāpes. Šeit jūs nevarat iztikt bez topoloģijas.
Septiņu tiltu problēma. Foto: studfile.net
Bezgalīgi maza analīze, topoloģija, eliptiskās līknes pierāda, ka daudzi cilvēki bija iesaistīti šo lauku attīstībā.Un pēc 18. gadsimta matemātika jau kļūstprofesionālā zinātne, tas ir, cilvēkam no ārpuses praktiski nav izredžu gūt tajā ievērojamus panākumus pasaules līmenī. Otrā tēze, izrādās, ir pierādīta. Šie cilvēki visu mūžu nodarbojas ar matemātiku, necerot, ka viņu konkrētie rezultāti būs praktiski piemērojami.
Kā veids, kā aprakstīt dabu
Bēdīgi slavenais Higsa bozons, kas, protams, pirms tas tika atklāts un reģistrēts, vispirms tika aprēķināts.Tas ir, bija vesela teorija, kuras pamatā bija aprēķini.Teorija, ka šādai daļiņai ir jāpastāv un tai jābūt noteiktām īpašībām. Tas pierāda, ka matemātika ļauj iegūt jaunas zināšanas par dabu. Atgriezīsimies pašā sākumā: ka matemātika ir zinātne par noteiktām struktūrām, kurām mēs zinām tikai īpašības, un tad mēs skatāmies, kas no tā izriet. Higsa bozonam, kas tajā laikā vēl nebija zināms, bet jau pēc zinātnieku pieņēmumiem, vajadzēja būt noteiktām īpašībām.
Otrais piemērs ir devītā planēta.Krievu zinātnieks Batigins, kurš tagad irmāca ASV, pirms atklāšanas vispirms aprēķināja devītās planētas orbītu. Tas ir, saskaņā ar dažiem aprēķiniem šai planētai vajadzēja pastāvēt, un tad tā jau tika atklāta aprēķinātajā punktā.
Izrādās, ka matemātika ir fundamentāla zinātne.Bet daudzi teiks, ka matemātika ir vienkāršadisciplīna kalpo dabaszinātnēm, un daļēji viņiem būs taisnība. Viņiem piekristu pat Kolmogorovs, kurš Kuranta un Robinsa grāmatas priekšvārdā teica, ka matemātika nav atdalāma no tās praktiskajiem pielietojumiem.
Andrejs Kolmogorovs- Padomju matemātiķis, viens no dibinātājiemmūsdienu varbūtību teorijā, viņš ieguva fundamentālus rezultātus topoloģijā, ģeometrijā, matemātiskajā loģikā, klasiskajā mehānikā, turbulences teorijā, algoritmu sarežģītības teorijā, informācijas teorijā, funkciju teorijā un vairākās citās matemātikas un tās lietojumu jomās.
Ričards Kurants- vācu un amerikāņu matemātiķis, pedagogs unzinātniskais organizators. Viņš ir pazīstams kā klasiskās populārās matemātikas grāmatas “Kas ir matemātika?” autors, kā arī viens no Kuranta-Frīdriha-Lūija kritērija autoriem.
Herberts Robins- amerikāņu matemātiķis un statistiķis. Viņa vārdā nosaukta Robinsa lemma, Robinsa algebra, Robinsa teorēma un citi termini.
Veils saka, ka jautājums par matemātikas pamatiem un to, ko tā galu galā pārstāv, paliek atklāts.Un nav zināms virziens, kas to ļautugalu galā atrodiet galīgu atbildi uz šo jautājumu. Vai mēs varam sagaidīt, ka to kādreiz iegūs un atpazīs visi matemātiķi? Veils norāda, ka pats matemātikas studiju process, matemātika, ir radošs process, kad cilvēki, necerot uz savu rezultātu, sava darba rezultātu praktisku pielietošanu, vienkārši iesaistās šajā procesā. Bet tas, ka viņš apraksta pasauli, es ceru, ka pārliecināju jūs, par to vairs nav šaubu. Matemātika patiešām raksturo pasauli, un nav nevienas dabaszinātnes, kas neizmantotu matemātisko aparātu. Mūsdienu pasaulē sociālās zinātnes, tostarp socioloģija, kā matemātikas metodes izmanto pētniecībai.
Andrē Veils- franču matemātiķis, kurš sniedza ievērojamu ieguldījumuieguldījums algebriskajā ģeometrijā un topoloģijā, Bourbaki grupas loceklis. Nozīmīgākie darbi algebriskās ģeometrijas jomā, kurus viņš varēja pamatot ar nepieciešamo stingrības līmeni, ieguva svarīgus rezultātus funkcionālajā analīzē, jo īpaši mērījumu un integrācijas teorijā topoloģiskās grupās un skaitļu teorijā, uz kuru viņš pievērsās. izmantoja homoloģiskās algebras un funkcionālās analīzes aparātu.
Skatiet arī:
Tika izveidota pirmā precīzā pasaules karte. Kas vainas visiem pārējiem?
Algoritms ir atklājis jaunu noslēpumainu slāni Zemes iekšienē
Urāns ir saņēmis visdīvainākās Saules sistēmas planētas statusu. Kāpēc?