Structurele wetenschap of gewoon berekeningen?
"Britannica zegt dat wiskunde de wetenschap van structuren is,
Russells paradox- ontdekt in 1901 door Bertrand Russellverzamelingstheoretische paradox (antinomie), die de inconsistentie aantoont van Frege's logische systeem, dat een vroege poging was om de naïeve verzamelingenleer van Georg Cantor te formaliseren.
De paradox kan als volgt worden beschreven.Laten we afspreken een set "gewoon" te noemen als het niet zijn eigen element is. De massa van alle mensen is bijvoorbeeld "gewoon" omdat de massa zelf geen persoon is. Een voorbeeld van een "ongebruikelijke" set is de set van alle sets, aangezien het zelf een set is en daarom zelf zijn eigen element is.
Zermelo-Fraenkel (ZF) axioma-systeem- meest gebruikte optieaxiomatische verzamelingenleer. Geformuleerd door Ernst Zermelo in 1908 om de paradoxen van de verzamelingenleer te overwinnen, en vervolgens verfijnd door Abraham Fraenkel in 1921. Het axiomasysteem is geschreven in de taal van de eerste orde logica.
Ik zal proberen je te bewijzen dat wiskunde een fundamentele wetenschap is.Basiswetenschap zou het volgende moeten hebbeneigenschappen: de resultaten moeten universeel zijn; zijn taken mogen aanvankelijk geen praktische implementatie van de verkregen resultaten omvatten; en het stelt ons in staat nieuwe kennis over de natuur op te doen, dat wil zeggen, voorspellende kracht te hebben.
Er bestaat geen twijfel over de universaliteit van de resultaten van de wiskunde.Dit is het gemakkelijkste punt, dus het komt op de eerste plaats. Zelfs op het niveau van ‘tweemaal twee is vier’: op elk moment en op elk continent zal het natuurlijk vier zijn.
Hoe praktische hulpmiddelen zijn ontstaan uit pure ideeën
Er zijn vier takken van de wiskunde die zich vanuit een volledig abstract idee hebben ontwikkeld.Eerst een analyse van het oneindig kleine, watheet nu wiskundige analyse. Het begon allemaal met het feit dat vermoedelijk Antiphones in de 5e eeuw voor Christus een methode van uitputting voorstelde. Zo heet het nu. Met deze methode kunt u het gebied met vormen vinden waarvan de grenzen geen lijnsegmenten zijn. Bijvoorbeeld de oppervlakte van een cirkel. Als er een cirkel is, kan deze bijvoorbeeld worden ingesloten in een vijfhoek en ook worden ingeschreven in een vijfhoek. Het gebied van de cirkel zal iets tussenin blijken te zijn. Als je de vijfhoek vervangt door een zes-, zeven- en achthoek, neemt de nauwkeurigheid van de benadering toe. Hoe meer zijden van onze polygoon zijn ingeschreven en beschreven rond de cirkel, hoe beter onze benadering blijkt te zijn.
Uitputting methode. Foto: commons.wikimedia.org
Maar de oppervlakte van een cirkel is evenredig met het kwadraat van de straal, en de evenredigheidscoëfficiënt is een soort getal.Er zijn schattingen van dit aantal voorgesteld:Archimedes suggereerde bijvoorbeeld dat dit ongeveer 22/7 is, deze schatting stelt ons in staat om tot op twee decimalen nauwkeurig te komen. En de beruchte Zu Chongzhi heeft al een veel betere schatting voorgesteld: 355/113, al zes decimalen. Uiteindelijk werd bewezen dat pi een irrationeel en zelfs transcendentaal getal is, dat wil zeggen dat het geen algebraïsch getal is.
Zu Chongzhi- Chinese wiskundige en astronoom.Hoe een astronoom met hoge nauwkeurigheid de siderische omwentelingsperioden van de planeten van het zonnestelsel bepaalde. Ontwikkelde een nieuwe kalender, rekening houdend met het fenomeen precessie. Hoe 's werelds eerste wiskundige pi tot op de zevende decimaal berekende en het een waarde gaf tussen 3,1415926 en 3,1415927; een nauwkeurigere waarde werd pas duizend jaar later berekend.
Het principe van Cavalieri is heel eenvoudig: als je twee volumetrische lichamen van dezelfde hoogte hebt en op elk niveau de uitsnijdingsgebieden hetzelfde zijn, dan zijn de volumes van deze lichamen hetzelfde.Dit principe is geschikt om volumes te vinden.lichamen waarvan de gezichten niet noodzakelijk plat zijn. Bijvoorbeeld een kegel. Van dergelijke volledig theoretische benaderingen tot de 17e eeuw ontwikkelt differentiaal- en integraalrekening zich al, aan de oorsprong van twee wetenschappers - Newton en Leibniz, die dit gebied ongeveer tegelijkertijd ontwikkelden. De praktische toepassing van hun werk vandaag: het zoeken naar de lengte van de curve en de raaklijn aan de bol, divergentie, rotoren en zelfs een tweedimensionale normale verdeling, waardoor men kan zoeken naar de waarschijnlijkheden van complex geconstrueerde gebeurtenissen.
Bonaventure Cavalieri- Italiaanse wiskundige, voorloperwiskundige analyse, de meest prominente en invloedrijke vertegenwoordiger van de ‘geometrie van ondeelbare dingen’. De principes en methoden die hij naar voren bracht, maakten het mogelijk, zelfs vóór de ontdekking van de wiskundige analyse, om met succes veel problemen van analytische aard op te lossen.
Cavalieri-principe. Foto: obzor.lt
In de 16e eeuw introduceerde Gerolamo Cardano het concept van een complex getal.In zijn werken worden complexe getallen beschreven alsvolledig verfijnde en nutteloze structuren, verfijnd is een positief kenmerk, en nutteloos - nou ja, dat begrijpen we. Hij zag er absoluut geen nut voor in, maar probeerde niettemin deze theorie te ontwikkelen. Later werd duidelijk dat dit op veel gebieden een nuttig hulpmiddel is. Albert Einstein zou het daarmee eens zijn. Voorbeelden hiervan zijn onder meer de berekening van elektrische wisselstroomcircuits, die veel eenvoudiger is met behulp van complex significante functies. Allerlei stellingen over de verdeling van priemgetallen - de bekende Riemann-zetafunctie en de daarmee samenhangende stelling, feitelijk een hypothese omdat deze nog niet bewezen is - dit is een van de zeven problemen van het millennium. Hypercomplexe getallen, zogenaamde quaternionen, hebben hun toepassing gevonden in positionering. Robotici zullen mij hier begrijpen. Wanneer we de positie van een driedimensionaal object in de ruimte bepalen of instellen, zijn quaternionen uiterst nuttig. En het is al moeilijker voor ons om het te doen zonder toegang tot deze hypercomplexe ruimte.
Gerolamo Cardano- Italiaanse wiskundige, ingenieur, filosoof, artsen astroloog. De formules voor het oplossen van de derdegraadsvergelijking ontdekt door Scipio del Ferro (Cardano was hun eerste uitgever), de cardanische ophanging, de cardanas en het Cardano-rooster zijn naar hem vernoemd.
Quaternionsis een systeem van hypercomplexe getallen dat een vectorruimte van dimensie vier vormt over het veld van reële getallen. Voorgesteld door William Hamilton in 1843.
Sommige versleutelingsalgoritmen zijn gebaseerd op de eigenschappen van elliptische curven, of preciezer gezegd, op hun algebraïsche eigenschappen.Maar het begon allemaal toen DiophantusAlexandrië probeerde in de 3e eeuw na Christus een oplossing te vinden voor deze vergelijking: y * (6-y) = x3-x. In de late 17e en vroege 18e eeuw probeerde Newton het ook op te lossen. Alles resulteerde in een hele theorie, waardoor we gegevens snel genoeg konden versleutelen, zodat het ontsleutelen ervan aanzienlijk meer tijd zou kosten. Dat wil zeggen, we krijgen zo'n mechanisme cryptografisch - een algoritme.
De geometrische betekenis van de Riemann-integraal. Foto: commons.wikimedia.org
Het probleem van de bruggen van Euler: is er een route die je maar één keer rond elke brug in Königsberg kunt afleggen - tegenwoordig kan bijna elke Olympiade-deelnemer dit oplossen.Deze vraag uit de 18e eeuw, toen nog praktischniet van toepassing, baarde een heel gebied van wiskunde - topologie. Tegenwoordig wordt het bijvoorbeeld gebruikt in robotica. De manipulator heeft een configuratieruimte. Voor een manipulator met twee koppelingen is dit bijvoorbeeld een torus. Maar een torus is een bepaald topologisch object: als we twee punten op een torus nemen, kunnen we zeggen over het traject van beweging tussen deze twee punten, over minimaliteit, enzovoort. Dat wil zeggen, er verschijnt een heel gebied voor analyse. En als de manipulator uit drie schakels bestaat, wordt het oppervlak veel gecompliceerder en is de taak om een optimaal pad te vinden, of zelfs gewoon een pad te vinden, ordes van grootte. Hier kun je niet zonder topologie.
Het probleem met de zeven bruggen. Foto: studfile.net
Infinitesimale analyses, topologie en elliptische krommen bewijzen allemaal dat veel mensen betrokken waren bij de ontwikkeling van deze velden.En na de 18e eeuw is wiskunde al in opkomstprofessionele wetenschap, dat wil zeggen, een persoon van buitenaf heeft praktisch geen kansen om er op wereldniveau significant succes in te behalen. Het tweede proefschrift, zo blijkt, is bewezen. Deze mensen doen hun hele leven al wiskunde, niet in de hoop dat hun specifieke resultaten praktisch toepasbaar zullen zijn.
Als een manier om de natuur te omschrijven
Het beruchte Higgs-deeltje, dat uiteraard voordat het werd ontdekt en vastgelegd, eerst werd berekend.Dat wil zeggen, er was een hele theorie gebaseerd op berekeningen.De theorie dat zo'n deeltje moet bestaan en bepaalde eigenschappen moet hebben. Dit bewijst dat wiskunde je in staat stelt nieuwe kennis over de natuur op te doen. Laten we teruggaan naar het allereerste begin: dat wiskunde de wetenschap is van bepaalde structuren waarvan we alleen de eigenschappen kennen, en dan kijken we wat hieruit voortkomt. Het Higgsdeeltje, dat toen nog niet bekend was, maar volgens de aannames van wetenschappers al, zou bepaalde eigenschappen moeten hebben.
Het tweede voorbeeld is de negende planeet.Russische wetenschapper Batygin, die nu isleert in de VS, berekende eerst de baan van de negende planeet voordat deze werd ontdekt. Dat wil zeggen, volgens sommige berekeningen had deze planeet moeten bestaan, en toen was hij al ontdekt op het berekende punt.
Het blijkt dat wiskunde een fundamentele wetenschap is.Maar velen zullen zeggen dat wiskunde gemakkelijk isdiscipline ten dienste van de natuurwetenschappen, en voor een deel zullen ze gelijk hebben. En zelfs Kolmogorov zou het met hen eens zijn, die in het voorwoord van het boek van Courant en Robbins zeiden dat wiskunde onlosmakelijk verbonden is met de praktische toepassingen ervan.
Andrey Kolmogorov- Sovjet-wiskundige, een van de oprichtersmoderne waarschijnlijkheidstheorie, behaalde hij fundamentele resultaten op het gebied van topologie, meetkunde, wiskundige logica, klassieke mechanica, turbulentietheorie, algoritme-complexiteitstheorie, informatietheorie, functietheorie en op een aantal andere gebieden van de wiskunde en haar toepassingen.
Richard Courant- Duitse en Amerikaanse wiskundige, pedagoog enwetenschappelijke organisator. Hij staat bekend als de auteur van het klassieke populaire boek over wiskunde, “Wat is Wiskunde?”, en ook als een van de auteurs van het Courant-Friedrichs-Lewy-criterium.
Herbert Robbins- Amerikaanse wiskundige en statisticus. Het lemma van Robbins, de algebra van Robbins, de stelling van Robbins en andere termen zijn naar hem vernoemd.
Weil zegt dat de vraag naar de grondslagen van de wiskunde en wat deze uiteindelijk vertegenwoordigt open blijft.En er is geen bekende richting die het zal toelatenvind uiteindelijk een definitief antwoord op deze vraag. Kunnen we verwachten dat het ooit zal worden verkregen en erkend door alle wiskundigen? Weil wijst erop dat het proces van het bestuderen van wiskunde, wiskundig maken, een creatief proces is wanneer mensen, niet in de hoop op een praktische toepassing van hun resultaten, de resultaten van hun werk, gewoon aan dit proces deelnemen. Maar het feit dat hij de wereld beschrijft, ik hoop dat ik je heb overtuigd, daar bestaat geen twijfel meer over. Wiskunde beschrijft de wereld echt, en er is geen natuurwetenschap die geen gebruik maakt van het wiskundige apparaat. In de moderne wereld gebruiken sociale wetenschappen, inclusief sociologie, wiskundige methoden als methoden voor onderzoek.
André Weil- Franse wiskundige die een aanzienlijke bijdrage heeft geleverdbijdragen aan de algebraïsche meetkunde en topologie, lid van de Bourbaki-groep. De belangrijkste werken op het gebied van de algebraïsche meetkunde, die hij met het vereiste nauwkeurigheidsniveau kon onderbouwen, leverden belangrijke resultaten op in de functionele analyse, met name in de theorie van maat en integratie in topologische groepen en de getaltheorie, waartoe hij paste het apparaat van homologische algebra en functionele analyse toe.
Zie ook:
De eerste nauwkeurige kaart van de wereld is gemaakt. Wat is er mis met de rest?
Algoritme heeft een nieuwe mysterieuze laag in de aarde ontdekt
Uranus heeft de status van de vreemdste planeet in het zonnestelsel gekregen. Waarom?