Strukturvitenskap eller bare beregninger?
"Britannica sier at matematikk er vitenskapen om strukturer,
Russells paradoks- oppdaget i 1901 av Bertrand Russellsett-teoretisk paradoks (antinomi), som demonstrerer inkonsistensen i Freges logiske system, som var et tidlig forsøk på å formalisere den naive settteorien til Georg Cantor.
Paradokset kan beskrives som følger.La oss bli enige om å kalle et sett "vanlig" hvis det ikke er dets eget element. For eksempel er mengden av alle mennesker “vanlig” fordi mengden i seg selv ikke er en person. Et eksempel på et "uvanlig" sett er settet med alle sett, siden det i seg selv er et sett, og derfor i seg selv er sitt eget element.
Zermelo-Fraenkel (ZF) aksiomsystem- mest brukte alternativetaksiomatisk settteori. Formulert av Ernst Zermelo i 1908 for å overvinne paradoksene i settteorien, og deretter foredlet av Abraham Fraenkel i 1921. Systemet av aksiomer er skrevet på språket av førsteordens logikk.
Jeg skal prøve å bevise for deg at matematikk er en grunnleggende vitenskap.Grunnvitenskap bør ha følgendeegenskaper: resultatene må være universelle; dens oppgaver bør ikke omfatte opprinnelig praktisk implementering av resultatene; og det lar oss få ny kunnskap om naturen, det vil si å ha prediktiv kraft.
Det er ingen tvil om det universelle resultatet av matematikken.Dette er det enkleste punktet, så det kommer først. Faktisk, selv på nivået "to ganger to er fire": når som helst og på ethvert kontinent vil det selvfølgelig være fire.
Hvordan praktiske verktøy ble født av rene ideer
Det er fire grener av matematikken som har utviklet seg fra en helt abstrakt idé.Først en analyse av det uendelige, hvanå kalt matematisk analyse. Det hele startet med det antagelig at antifoner i det 5. århundre f.Kr. foreslo en metode for utmattelse. Det kalles det nå. Med denne metoden kan du finne området med former hvis grenser ikke er linjesegmenter. For eksempel arealet av en sirkel. Hvis det er en sirkel, kan den for eksempel være lukket i en femkant, og også innskrevet i en femkant. Sirkelområdet vil vise seg å være noe i mellom. Hvis du bytter ut femkant med en seks-, syv- og åttekant, vil nøyaktigheten av tilnærmingen øke. Jo mer antall sider av polygonet vårt, som er innskrevet og beskrevet rundt sirkelen, desto bedre viser vår tilnærming seg å være.
Utmattelsesmetode. Foto: commons.wikimedia.org
Men arealet av en sirkel er proporsjonalt med kvadratet av radiusen, og proporsjonalitetskoeffisienten er en slags tall.Estimater av dette tallet er foreslått:for eksempel foreslo Archimedes at dette er omtrent 22/7, dette estimatet lar oss få presisjon til to desimaler. Og den beryktede Zu Chongzhi har allerede tilbudt et mye bedre estimat: 355/113, allerede seks desimaler. Til slutt ble det bevist at pi er et irrasjonelt og til og med transcendentalt tall, det vil si at det ikke er et algebraisk tall.
Zu Chongzhi- Kinesisk matematiker og astronom.Hvordan en astronom bestemte de sideriske revolusjonsperiodene til planetene i solsystemet med høy nøyaktighet. Utviklet en ny kalender som tar hensyn til fenomenet presesjon. Hvordan verdens første matematiker beregnet pi til sjuende desimal, og ga den en verdi mellom 3,1415926 og 3,1415927; en mer nøyaktig verdi ble beregnet bare tusen år senere.
Cavalieris prinsipp er veldig enkelt: hvis du har to volumetriske kropper med samme høyde og på hvert nivå er utskjæringsområdene de samme, så er volumene til disse kroppene de samme.Dette prinsippet er egnet for å finne volumer.kropper hvis ansikter ikke nødvendigvis er flate. For eksempel en kjegle. Fra slike helt teoretiske tilnærminger til 1600-tallet utvikler det seg allerede differensial- og integralkalkulator, til å begynne med er to forskere - Newton og Leibniz, som utviklet dette området omtrent samtidig. Den praktiske anvendelsen av deres arbeid i dag: søket etter lengden på en kurve og en tangens til en sfære, divergens, rotorer og til og med en todimensjonal normalfordeling, takket være hvilken man kan søke etter sannsynlighetene for komplekskonstruerte hendelser.
Bonaventure Cavalieri- Italiensk matematiker, forløpermatematisk analyse, den mest fremtredende og innflytelsesrike representanten for "geometrien til udelelige". Prinsippene og metodene han la frem gjorde det mulig, selv før oppdagelsen av matematisk analyse, å lykkes med å løse mange problemer av analytisk karakter.
Cavalieri-prinsippet. Foto: obzor.lt
På 1500-tallet introduserte Gerolamo Cardano konseptet med et komplekst nummer.I hans arbeider beskrives komplekse tall somhelt raffinerte og ubrukelige strukturer, raffinert er en positiv egenskap, og ubrukelig - vel, vi forstår. Han så absolutt ingen bruk for dem, men prøvde likevel å utvikle denne teorien. Senere ble det klart at dette er et nyttig verktøy for mange områder. Albert Einstein er enig. Eksempler inkluderer beregning av AC elektriske kretser, som er mye enklere ved å bruke komplekst signifikante funksjoner. Alle slags teoremer om fordelingen av primtall - den velkjente Riemann zeta-funksjonen og teoremet knyttet til den, faktisk en hypotese, fordi den ennå ikke er bevist - dette er et av årtusenets syv problemer. Hyperkomplekse tall, såkalte quaternioner, har funnet sin anvendelse i posisjonering. Robotikere vil forstå meg her. Når vi bestemmer eller setter posisjonen til et tredimensjonalt objekt i rommet, er kvaternioner ekstremt nyttige. Og det er allerede vanskeligere for oss å gjøre uten tilgang til dette hyperkomplekse rommet.
Gerolamo Cardano- Italiensk matematiker, ingeniør, filosof, legeog astrolog. Formlene for å løse den kubiske ligningen oppdaget av Scipio del Ferro (Cardano var deres første utgiver), kardanopphenget, kardanakselen og Cardano-gitteret er navngitt til hans ære.
Kvarternionerer et system av hyperkomplekse tall som danner et vektorrom med dimensjon fire over feltet av reelle tall. Foreslått av William Hamilton i 1843.
Noen krypteringsalgoritmer er basert på egenskapene til elliptiske kurver, eller mer presist, på deres algebraiske egenskaper.Men det hele startet da DiophantusAlexandria i det 3. århundre e.Kr. prøvde å finne en løsning på denne ligningen: y * (6-y) = x3-x. På slutten av 1600- og begynnelsen av 1700-tallet prøvde Newton også å løse det. Alt resulterte i en hel teori, som lar oss kryptere data raskt nok til at dekrypteringen deres vil ta betydelig mer tid. Det vil si at vi får en slik mekanisme kryptografisk - en algoritme.
Den geometriske betydningen av Riemann-integralen. Foto: commons.wikimedia.org
Problemet med Eulers broer: er det en rute å gå rundt hver bro i Königsberg bare én gang - i dag kan nesten enhver Olympiade-deltaker løse det.Dette spørsmålet fra 1700-tallet, da fremdeles praktiskubrukelig, fødte et helt område av matematikk - topologi. I dag brukes den for eksempel i robotikk. Manipulatoren har en konfigurasjonsplass. For eksempel, for en to-lenks manipulator, er dette en torus. Men en torus er et bestemt topologisk objekt: hvis vi tar to punkter på en torus, kan vi si om bevegelsesbanen mellom disse to punktene, om minimalitet og så videre. Det vil si at et helt område for analyse vises. Og hvis manipulatoren er tre-koblet, blir overflaten mye mer komplisert, og oppgaven med å finne en optimal sti, eller til og med bare å finne en sti, er størrelsesorden. Her kan du ikke gjøre uten topologi.
De syv broene. Foto: studfile.net
Infinitesimal analyse, topologi, elliptiske kurver beviser alle at mange mennesker var involvert i utviklingen av disse feltene.Og etter 1700-tallet er matematikk allerede i ferd med å bliprofesjonell vitenskap, det vil si at en person fra utsiden praktisk talt ikke har noen sjanse til å oppnå betydelig suksess i det på verdensnivå. Det viser seg at den andre oppgaven er bevist. Disse menneskene har drevet matematikk hele livet, og håper ikke at deres spesifikke resultater vil være praktisk anvendelige.
Som en måte å beskrive naturen på
Det beryktede Higgs-bosonet, som selvfølgelig, før det ble oppdaget og registrert, først ble beregnet.Det vil si at det var en hel teori basert på beregninger.Teorien om at en slik partikkel må eksistere og må ha visse egenskaper. Dette beviser at matematikk lar deg få ny kunnskap om naturen. La oss gå tilbake til begynnelsen: at matematikk er vitenskapen om visse strukturer som vi bare kjenner egenskapene for, og så ser vi på hva som kommer ut av dette. Higgs-bosonen, som ennå ikke var kjent på det tidspunktet, men allerede ifølge forskernes antakelser, burde hatt visse egenskaper.
Det andre eksemplet er den niende planeten.Russisk forsker Batygin, som er det nålærer i USA, beregnet først banen til den niende planeten før den ble oppdaget. Det vil si at ifølge noen beregninger burde denne planeten ha eksistert, og da ble den allerede oppdaget på det beregnede punktet.
Det viser seg at matematikk er en grunnleggende vitenskap.Men mange vil si at matematikk er enkeltdisiplin til tjeneste for naturvitenskapene, og delvis vil de ha rett. Og til og med Kolmogorov ville være enig med dem, som i forordet til boka av Courant og Robbins sa at matematikk er uadskillelig fra dens praktiske anvendelser.
Andrey Kolmogorov– Sovjetisk matematiker, en av grunnleggernemoderne sannsynlighetsteori oppnådde han grunnleggende resultater innen topologi, geometri, matematisk logikk, klassisk mekanikk, turbulensteori, algoritmekompleksitetsteori, informasjonsteori, funksjonsteori og i en rekke andre områder innen matematikk og dens anvendelser.
Richard Courant- Tysk og amerikansk matematiker, pedagog ogvitenskapelig arrangør. Han er kjent som forfatteren av den klassiske populære boken om matematikk, "Hva er matematikk?", og også som en av forfatterne av Courant-Friedrichs-Lewy-kriteriet.
Herbert Robbins- Amerikansk matematiker og statistiker. Robbins lemma, Robbins algebra, Robbins teorem og andre termer er oppkalt etter ham.
Weil sier at spørsmålet om grunnlaget for matematikk og hva det til syvende og sist representerer forblir åpent.Og det er ingen kjent retning som tillater dettil slutt finne et definitivt svar på dette spørsmålet. Kan vi forvente at det en dag vil bli oppnådd og anerkjent av alle matematikere? Weil påpeker at selve prosessen med å studere matematikk, matematisering, er en kreativ prosess når folk ikke håper på en praktisk anvendelse av resultatene, resultatene av arbeidet deres, bare engasjerer seg i denne prosessen. Men det at han beskriver verden, håper jeg jeg overbeviste deg om, det er ikke lenger noen tvil om det. Matematikk beskriver virkelig verden, og det er ingen naturvitenskap som ikke bruker det matematiske apparatet. I den moderne verden bruker samfunnsvitenskap, inkludert sosiologi, matematiske metoder som forskningsmetoder.
André Weil- Fransk matematiker som bidro betydeligbidrag til algebraisk geometri og topologi, medlem av Bourbaki-gruppen. De viktigste verkene innen algebraisk geometri, som han var i stand til å underbygge med det nødvendige nivået av strenghet, oppnådde viktige resultater i funksjonell analyse, spesielt i teorien om mål og integrasjon i topologiske grupper og tallteori, som han anvendt apparatet for homologisk algebra og funksjonell analyse.
Se også:
Det første nøyaktige kartet over verden ble opprettet. Hva er galt med alle andre?
Algoritme har oppdaget et nytt mystisk lag på jorden
Uranus har mottatt statusen som den merkeligste planeten i solsystemet. Hvorfor?