Nauki strukturalne czy tylko obliczenia?
„Британника» говорит, что математика — это наука о структурах,
Paradoks Russella- odkryta w 1901 roku przez Bertranda Russellaparadoks teorii mnogości (antynomia), ukazujący niespójność systemu logicznego Fregego, będący wczesną próbą sformalizowania naiwnej teorii mnogości Georga Cantora.
Paradoks można opisać następująco.Zgódźmy się nazywać zbiór „zwykłym”, jeśli nie jest jego własnym elementem. Na przykład mnogość wszystkich ludzi jest „zwykła”, ponieważ sama mnóstwo nie jest osobą. Przykładem zbioru „niezwykłego” jest zbiór wszystkich zbiorów, ponieważ sam jest zbiorem, a zatem sam jest swoim własnym elementem.
System aksjomatów Zermelo-Fraenkla (ZF)- najczęściej używana opcjaaksjomatyczna teoria mnogości. Sformułowany przez Ernsta Zermelo w 1908 r. w celu przezwyciężenia paradoksów teorii mnogości, a następnie udoskonalony przez Abrahama Fraenkela w 1921 r. System aksjomatów jest napisany w języku logiki pierwszego rzędu.
Spróbuję Ci udowodnić, że matematyka jest nauką podstawową.Podstawowa nauka powinna mieć następujące elementywłaściwości: jego wyniki muszą być uniwersalne; jego zadania nie powinny obejmować początkowo praktycznej realizacji uzyskanych wyników; i pozwala nam zdobywać nową wiedzę o przyrodzie, czyli mieć moc predykcyjną.
Nie ma wątpliwości co do uniwersalności wyników matematyki.To najłatwiejszy punkt, więc jest na pierwszym miejscu. Rzeczywiście, nawet na poziomie „dwa razy dwa równa się cztery”: w dowolnym czasie i na każdym kontynencie będzie to oczywiście cztery.
Jak z czystych pomysłów zrodziły się praktyczne narzędzia
Istnieją cztery gałęzie matematyki, które rozwinęły się z całkowicie abstrakcyjnej idei.Najpierw analiza nieskończenie małego, co…teraz nazywana analizą matematyczną. Wszystko zaczęło się od tego, że prawdopodobnie Antifones w V wieku pne zaproponował metodę wyczerpania. Nazywa się to teraz. Za pomocą tej metody można znaleźć obszar kształtów, których granice nie są odcinkami linii. Na przykład obszar koła. Jeśli jest okrąg, to może być zamknięty na przykład w pięciokąt, a także wpisany w pięciokąt. Obszar koła okaże się czymś pomiędzy. Jeśli zastąpimy pięciokąt sześciobokiem, siedmiokątem i ośmiokątem, dokładność aproksymacji wzrośnie. Im więcej boków naszego wielokąta, który jest wpisany i opisany wokół okręgu, tym lepsze okazuje się nasze przybliżenie.
Metoda wyczerpania. Zdjęcie: commons.wikimedia.org
Ale obszar koła jest proporcjonalny do kwadratu promienia, a współczynnik proporcjonalności jest jakąś liczbą.Zaproponowano szacunki tej liczby:na przykład Archimedes zasugerował, że jest to około 22/7, to oszacowanie pozwala nam uzyskać dokładność do dwóch miejsc po przecinku. A znany Zu Chongzhi już zasugerował znacznie lepsze szacunki: 355/113, już sześć miejsc po przecinku. Ostatecznie udowodniono, że pi jest liczbą niewymierną, a nawet przestępną, czyli nie jest liczbą algebraiczną.
Zu Chongzhi- Chiński matematyk i astronom.Jak astronom z dużą dokładnością określił okresy gwiazdowe obrotu planet Układu Słonecznego. Opracowano nowy kalendarz uwzględniający zjawisko precesji. Jak pierwszy na świecie matematyk obliczył liczbę pi do siódmego miejsca po przecinku, nadając mu wartość pomiędzy 3,1415926 a 3,1415927; dokładniejszą wartość obliczono dopiero tysiąc lat później.
Zasada Cavalieriego jest bardzo prosta: jeśli masz dwa ciała wolumetryczne o tej samej wysokości i na każdym poziomie obszary wycięcia są takie same, to objętości tych ciał są takie same.Ta zasada jest odpowiednia do znajdowania woluminów.ciała, których twarze niekoniecznie są płaskie. Na przykład stożek. Z takich całkowicie teoretycznych podejść do XVII wieku rozwija się już rachunek różniczkowy i całkowy, którego początkiem jest dwóch naukowców - Newton i Leibniz, którzy rozwinęli tę dziedzinę mniej więcej w tym samym czasie. Praktyczne zastosowanie ich pracy dzisiaj: poszukiwanie długości krzywej i stycznej do kuli, dywergencja, wirniki, a nawet dwuwymiarowy rozkład normalny, dzięki któremu można szukać prawdopodobieństw złożonych zdarzeń.
Bonawentura Cavalieri- Włoski matematyk, prekursoranaliza matematyczna, najwybitniejszy i najbardziej wpływowy przedstawiciel „geometrii niepodzielności”. Zaproponowane przez niego zasady i metody umożliwiły, jeszcze przed odkryciem analizy matematycznej, skuteczne rozwiązanie wielu problemów o charakterze analitycznym.
Zasada Cavalieriego. Foto: obzor.lt
W XVI wieku Gerolamo Cardano wprowadził pojęcie liczby zespolonej.W jego pracach liczby zespolone opisywane są jakocałkowicie wyrafinowane i bezużyteczne struktury, wyrafinowane to pozytywna cecha i bezużyteczne - cóż, rozumiemy. Nie widział dla nich żadnego zastosowania, mimo to próbował rozwinąć tę teorię. Później stało się jasne, że jest to przydatne narzędzie w wielu obszarach. Albert Einstein by się zgodził. Przykłady obejmują obliczenia obwodów elektrycznych prądu przemiennego, które są znacznie prostsze przy użyciu złożonych funkcji. Wszelkiego rodzaju twierdzenia o rozkładzie liczb pierwszych - dobrze znana funkcja zeta Riemanna i związane z nią twierdzenie, w rzeczywistości hipoteza, ponieważ nie została jeszcze udowodniona - to jeden z siedmiu problemów tysiąclecia. Liczby hiperzespolone, tzw. kwaterniony, znalazły zastosowanie w pozycjonowaniu. Robotycy mnie tutaj zrozumieją. Kiedy określamy lub ustalamy położenie trójwymiarowego obiektu w przestrzeni, niezwykle przydatne są kwaterniony. A już trudniej jest nam obejść się bez dostępu do tej niezwykle złożonej przestrzeni.
Gerolamo Cardano — итальянский математик, инженер, философ, врач и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором), карданов подвес, карданный вал и решетка Кардано.
Kwateryny — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Некоторые алгоритмы шифрования основаны на свойствах эллиптических кривых, а, точнее, на их алгебраических свойствах. Ale wszystko zaczęło się, gdy DiophantusAleksandryjczyk w III wieku naszej ery próbował znaleźć rozwiązanie tego równania: y * (6-y) = x3-x. Pod koniec XVII i na początku XVIII wieku Newton również próbował go rozwiązać. Wszystko zaowocowało całą teorią, która pozwala nam na tyle szybko zaszyfrować dane, aby ich odszyfrowanie zajęło znacznie więcej czasu. Oznacza to, że otrzymujemy taki mechanizm kryptograficznie - algorytm.
Geometryczne znaczenie całki Riemanna. Zdjęcie: commons.wikimedia.org
Задачу мостов Эйлера: существует ли маршрут, чтобы обойти каждый мост Кенигсберга только по одному разу, — сегодня может решить почти любой олимпиадник. To pytanie z XVIII wieku, wtedy jeszcze praktycznienie dające się zastosować, zrodziła całą dziedzinę matematyki - topologię. Dziś jest używany na przykład w robotyce. Manipulator posiada przestrzeń konfiguracyjną. Na przykład dla manipulatora z dwoma ogniwami jest to torus. Ale torus jest określonym obiektem topologicznym: jeśli weźmiemy dwa punkty na torusie, możemy powiedzieć o trajektorii ruchu między tymi dwoma punktami, o minimalności i tak dalej. Oznacza to, że pojawia się cały obszar do analizy. A jeśli manipulator jest trójogniwowy, powierzchnia staje się znacznie bardziej skomplikowana, a zadanie znalezienia optymalnej ścieżki, a nawet znalezienia ścieżki, to rzędy wielkości. Tutaj nie można obejść się bez topologii.
Problem siedmiu mostów. Zdjęcie: studfile.net
Анализ бесконечно малых, топология, эллиптические кривые — все это доказывает то, что в развитие этих областей было вовлечено много людей. A po XVIII wieku matematyka już się stajenauka zawodowa, czyli osoba z zewnątrz praktycznie nie ma szans na osiągnięcie w niej znaczącego sukcesu na światowym poziomie. Okazuje się, że druga teza została udowodniona. Ci ludzie przez całe życie zajmowali się matematyką, nie mając nadziei, że ich konkretne wyniki będą miały praktyczne zastosowanie.
Jako sposób na opisanie natury
Пресловутый Бозон Хиггса, который, конечно, прежде чем был обнаружен и зафиксирован, сначала был рассчитан. To znaczy, była cała teoria oparta na obliczeniach.Teoria, że taka cząstka musi istnieć i musi mieć określone właściwości. To dowodzi, że matematyka pozwala zdobywać nową wiedzę o przyrodzie. Wróćmy do samego początku: że matematyka jest nauką o pewnych strukturach, dla których znamy tylko właściwości, a potem patrzymy, co z tego wynika. Bozon Higgsa, który wówczas nie był jeszcze znany, ale już według założeń naukowców, powinien mieć pewne właściwości.
Второй пример — девятая планета. Rosyjski naukowiec Batygin, który jest teraznaucza w USA, najpierw obliczył orbitę dziewiątej planety, zanim została odkryta. Oznacza to, że według niektórych obliczeń ta planeta powinna istnieć, a następnie została już odkryta w obliczonym punkcie.
Получается, что математика — фундаментальная наука. Ale wielu powie, że matematyka jest łatwadyscyplina w służbie nauk przyrodniczych i po części będą miały rację. Zgodziłby się z nimi nawet Kołmogorow, który we wstępie do książki Couranta i Robbinsa powiedział, że matematyka jest nierozerwalnie związana z jej praktycznymi zastosowaniami.
Andriej Kołmogorow — советский математик, один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций и в ряде других областей математики и ее приложений.
Ryszard Courant — немецкий и американский математик, педагог и научный организатор. Известен как автор классической популярной книги по математике «Что такое математика?», а также как один из авторов критерия Куранта — Фридрихса — Леви.
Herbert Robbins — американский математик и статистик. Его именем названы лемма Роббинса, алгебра Роббинса, теорема Роббинса и другие термины.
Вейль говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счете она собой представляет, остается открытым. I nie ma znanego kierunku, który pozwoliw końcu znaleźć ostateczną odpowiedź na to pytanie. Czy możemy się spodziewać, że kiedyś zostanie on zdobyty i rozpoznany przez wszystkich matematyków? Weil zwraca uwagę, że sam proces studiowania matematyki, matematyzacja, jest procesem twórczym, kiedy ludzie, nie licząc na praktyczne zastosowanie ich wyników, rezultatów swojej pracy, po prostu angażują się w ten proces. Ale fakt, że opisuje świat, mam nadzieję, że cię przekonałem, nie ma już co do tego wątpliwości. Matematyka naprawdę opisuje świat i nie ma nauk przyrodniczych, które nie używają aparatu matematycznego. We współczesnym świecie nauki społeczne, w tym socjologia, wykorzystują metody matematyczne jako metody badań.
André Weil — французский математик, внесший значительный вклад в алгебраическую геометрию и топологию, член группы Бурбаки. Важнейшие труды в области алгебраической геометрии, которую сумел обосновать с нужным уровнем строгости, получил важные результаты в функциональном анализе, в частности в теории меры и интегрирования в топологических группах и теории чисел, к которой применил аппарат гомологической алгебры и функционального анализа.
Zobacz także:
Powstała pierwsza dokładna mapa świata. Co jest nie tak ze wszystkimi innymi?
Algorytm odkrył nową tajemniczą warstwę wewnątrz Ziemi
Uran uzyskał status najdziwniejszej planety w Układzie Słonecznym. Dlaczego?