Stwórz klasyfikację rozmaitości, opisz dowolny wykres i przewiduj, jak zmieni się orbita planety - wszyscy
Topologia jest nauką, polega na badaniu właściwości obiektu, który nie zmieni się, gdy zostanie zdeformowany.
„Sullivan wielokrotnie zmieniał nasze zdanie na temattopologia. Wprowadził nowe koncepcje, udowodnił ikoniczne twierdzenia, odpowiedział na stare hipotezy i sformułował nowe problemy, które posunęły tę dziedzinę do przodu”, tekst przemówienia o Nagrodzie Abla w 2022 roku. Jego nagroda wyniosła 854 000 $.
Organizatorzy twierdzą, że w trakcie swojej pracy Sullivan przechodził z jednego obszaru matematyki do drugiego i rozwiązywał problemy przy użyciu szerokiej gamy narzędzi.
Ponieważ Nagroda Abela była pierwszaprzyznany w 2003 r., stał się nagrodą za całokształt osiągnięć człowieka, mówi Hans Munthe-Kaas, przewodniczący komisji z Uniwersytetu w Bergen. Wszyscy 24 ostatnich laureatów Nagrody Abela to znani matematycy. „Wspaniale jest być częścią tej wybitnej listy” – mówi Sullivan.
O zwycięzcy
Sullivan urodził się w Port Huron, Michigan, w1941 i dorastał w Teksasie. Karierę matematyczną rozpoczął w latach 60. XX wieku. W tym czasie topologia rozwijała się bardzo szybko, naukowcy starali się sklasyfikować wszystkie istniejące rozmaitości.
Rozmaitość w matematyce jest topologicznaprzestrzeń liniowa w małych skalach jest nie do odróżnienia od płaszczyzny. Ale globalny kształt rozmaitości nie zawsze przypomina kształt płaskiej przestrzeni, tak jak powierzchnia kuli różni się od powierzchni dwuwymiarowej płyty. W tym przypadku mówi się, że obiekty te są topologicznie odrębne.
Jaka jest istota pracy laureata?
- Topologia
W połowie XX wieku matematycy zdali sobie sprawę, że topologia rozmaitości działa zupełnie inaczej. Wszystko zależy od liczby wymiarów obiektu, mówi Sullivan.
Mówi, że badanie rozmaitości o czterech lub mniejszej liczbie wymiarów jest bardzo podobne do geometrii. Metody były również geometryczne: figury pocięto na kawałki, a następnie złożono z powrotem.
Ale dla obiektów o dużej liczbie wymiarów - pięći nie tylko - udało nam się posunąć znacznie dalej. Sullivan wraz z innymi badaczami stworzył klasyfikację odmian. Podzielił problemy na takie, które można było również rozwiązać za pomocą obliczeń algebraicznych, mówi Niels Baas, matematyk z Norweskiego Uniwersytetu Nauki i Technologii w Trondheim.
Sullivan stwierdził, że jest z niego najbardziej dumnywyniki, które uzyskał w 1977 roku. Był w stanie określić najważniejsze właściwości przestrzeni za pomocą narzędzia zwanego racjonalną homotopią. Stało się to jednym z jego najczęściej cytowanych dzieł i najczęściej stosowanych technik.
Homotopia to rodzina ciągłych mapowań,których przedobraz i obraz są przestrzeniami topologicznymi. Oznacza to, że to, co możemy zrobić z obiektem poprzez rozciąganie, ściskanie i lepkie przemieszczenie, to przemieszczenie części jego sąsiedztwa wraz z punktem. Jest to niezbędne do algorytmicznego opisu procesów i budowania logiki architektury za pomocą modelu matematycznego.
- Systemy dynamiczne
W latach 80. Sullivan zainteresował sięsystemy dynamiczne. Są to systemy, które ewoluują w czasie – orbity planet lub cykliczne zmiany w populacji. Również w tym przypadku Sullivan wniósł wkład godny Nagrody Abela, mówi Munthe-Kaas.
W szczególności Sullivan udowodnił, żeKorzystając z modelowania komputerowego, odkrył to amerykański fizyk matematyczny Mitchell Feigenbaum. Pewne liczby, zwane obecnie stałymi Feigenbauma, pojawiają się w wielu typach układów dynamicznych, a praca Sullivana wyjaśniła, dlaczego.
„Jedną rzeczą jest wiedzieć to z eksperymentu nakomputer, a zupełnie co innego wiedzieć, że jest to dokładne twierdzenie matematyczne” – mówi Sullivan. Inni matematycy próbowali to udowodnić za pomocą istniejących narzędzi, ale im się to nie udało.
- Klasyfikacja wykresu
Sullivan i jego kolega Bill Parry byli w stanie po raz pierwszy sformułować niezmiennik Parry'ego-Sullivana, liczbę, którą można wykorzystać do tworzenia klasyfikacji i częściowo jednowymiarowych układów dynamicznych.
Zadeklarowali, że z dowolnego wykresu można zrobićmacierz padania, w której wiersze są wierzchołkami, a kolumny krawędziami. W wyniku przeprowadzonych prac okazało się, że nie można topologicznie zmierzyć determinanty różnicy w jednostkowych i kwadratowych macierzach padania. Autorzy postanowili wykorzystać go do opisania struktury grafu.
- Turbulentne zachowanie cieczy
W kolejnych dziesięcioleciach Sullivan rozwinął pasję doturbulentne zachowanie cieczy, takie jak przepływ wody. Powiedział, że jego marzeniem jest odkrycie wzorców, które sprawią, że taki ruch będzie przewidywalny na dużą skalę.
Zdaniem przewodniczącego Komisji Abela Hansa Munthe-Kaasa jedną z ważnych cech laureata jest umiejętność odnajdywania związków i analogii między różnymi i dość odległymi dziedzinami matematyki.
Czytaj więcej:
„James Webb” zrobił najczystsze zdjęcie gwiazdy w historii
Ładowanie kwantowe pozwoli na rekordowo szybkie ładowanie pojazdów elektrycznych
NASA sfotografowała z orbity chińskiego łazika marsjańskiego Zhurong