Ciência estrutural ou apenas cálculos?
"A Britannica diz que a matemática é a ciência das estruturas,
Paradoxo de Russell- descoberto em 1901 por Bertrand Russellparadoxo da teoria dos conjuntos (antinomia), demonstrando a inconsistência do sistema lógico de Frege, que foi uma das primeiras tentativas de formalizar a ingênua teoria dos conjuntos de Georg Cantor.
O paradoxo pode ser descrito da seguinte maneira.Concordemos em chamar um conjunto de "comum" se não for seu próprio elemento. Por exemplo, a multidão de todas as pessoas é "comum" porque a própria multidão não é uma pessoa. Um exemplo de conjunto "incomum" é o conjunto de todos os conjuntos, visto que ele próprio é um conjunto e, portanto, ele mesmo é seu próprio elemento.
Sistema de axioma Zermelo-Fraenkel (ZF)- opção mais utilizadateoria dos conjuntos axiomáticos. Formulado por Ernst Zermelo em 1908 para superar os paradoxos da teoria dos conjuntos, e depois refinado por Abraham Fraenkel em 1921. O sistema de axiomas está escrito na linguagem da lógica de primeira ordem.
Tentarei provar a você que a matemática é uma ciência fundamental.A ciência básica deve ter o seguintepropriedades: seus resultados devem ser universais; suas tarefas não devem incluir a implementação prática inicial dos resultados obtidos; e nos permite adquirir novos conhecimentos sobre a natureza, ou seja, ter poder preditivo.
Não há dúvida sobre a universalidade dos resultados da matemática.Este é o ponto mais fácil, por isso vem primeiro. Na verdade, mesmo ao nível de “duas vezes dois são quatro”: em qualquer altura e em qualquer continente serão, naturalmente, quatro.
Como ferramentas práticas nasceram de ideias puras
Existem quatro ramos da matemática que se desenvolveram a partir de uma ideia completamente abstrata.Primeiro, uma análise do infinitesimal, o queagora chamado de análise matemática. Tudo começou com o fato de que, presumivelmente, Antiphones no século 5 aC propôs um método de exaustão. É assim chamado agora. Usando este método, você pode encontrar a área de formas cujos limites não são segmentos de linha. Por exemplo, a área de um círculo. Se houver um círculo, ele pode ser encerrado, por exemplo, em um pentágono, e também inscrito em um pentágono. A área do círculo acabará sendo algo intermediário. Se você substituir o pentágono por um seis, sete e um octógono, a precisão da aproximação aumentará. Quanto mais o número de lados de nosso polígono, que é inscrito e descrito ao redor do círculo, melhor nossa aproximação se torna.
Método de exaustão. Foto: commons.wikimedia.org
Mas a área de um círculo é proporcional ao quadrado do raio, e o coeficiente de proporcionalidade é algum tipo de número.Estimativas deste número foram propostas:por exemplo, Arquimedes sugeriu que é aproximadamente 22/7, esta estimativa nos permite obter a precisão de duas casas decimais. E o notório Zu Chongzhi já sugeriu uma estimativa muito melhor: 355/113, já com seis casas decimais. Ao final, ficou provado que pi é um número irracional e até transcendental, ou seja, não é um número algébrico.
Zu Chongzhi- Matemático e astrônomo chinês.Como um astrônomo determinou com alta precisão os períodos siderais de revolução dos planetas do sistema solar. Desenvolveu um novo calendário levando em consideração o fenômeno da precessão. Como o primeiro matemático do mundo calculou pi até a sétima casa decimal, dando-lhe um valor entre 3,1415926 e 3,1415927; um valor mais preciso foi calculado apenas mil anos depois.
O princípio de Cavalieri é muito simples: se você tem dois corpos volumétricos da mesma altura e em cada nível as áreas de excisão são iguais, então os volumes desses corpos são iguais.Este princípio é adequado para encontrar volumes.corpos cujos rostos não são necessariamente planos. Por exemplo, um cone. De abordagens tão teóricas até o século XVII, o cálculo diferencial e o cálculo integral já estão se desenvolvendo, na origem do qual estão dois cientistas - Newton e Leibniz, que desenvolveram essa área mais ou menos na mesma época. A aplicação prática de seu trabalho hoje: a busca do comprimento da curva e da tangente à esfera, divergência, rotores e até uma distribuição normal bidimensional, graças à qual se pode pesquisar as probabilidades de eventos construídos de maneira complexa.
Bonaventure Cavalieri- matemático italiano, precursoranálise matemática, o representante mais proeminente e influente da “geometria dos indivisíveis”. Os princípios e métodos que apresentou permitiram, ainda antes da descoberta da análise matemática, resolver com sucesso muitos problemas de natureza analítica.
Princípio de Cavalieri. Foto:obzor.lt
No século 16, Gerolamo Cardano introduziu o conceito de um número complexo.Em suas obras, os números complexos são descritos comoestruturas completamente refinadas e inúteis, refinadas é uma característica positiva, e inúteis - bem, nós entendemos. Ele não viu absolutamente nenhuma utilidade para eles, mas, mesmo assim, tentou desenvolver essa teoria. Mais tarde ficou claro que esta é uma ferramenta útil para muitas áreas. Albert Einstein concordaria. Os exemplos incluem o cálculo de circuitos elétricos CA, que é muito mais simples usando funções complexas e significativas. Todos os tipos de teoremas sobre a distribuição dos números primos - a conhecida função zeta de Riemann e o teorema a ela associado, uma hipótese, na verdade, porque ainda não foi comprovada - este é um dos sete problemas do milênio. Números hipercomplexos, os chamados quatérnios, encontraram sua aplicação no posicionamento. Os roboticistas vão me entender aqui. Quando determinamos ou definimos a posição de um objeto tridimensional no espaço, os quatérnios são extremamente úteis. E já é mais difícil para nós prescindir do acesso a este espaço hipercomplexo.
Gerolamo Cardano- matemático, engenheiro, filósofo, médico italianoe astrólogo. As fórmulas para resolver a equação cúbica descobertas por Cipião del Ferro (Cardano foi seu primeiro editor), a suspensão do cardan, o eixo cardan e a rede Cardano são nomeadas em sua homenagem.
Quaternionsé um sistema de números hipercomplexos que forma um espaço vetorial de dimensão quatro sobre o corpo dos números reais. Proposto por William Hamilton em 1843.
Alguns algoritmos de criptografia são baseados nas propriedades das curvas elípticas, ou mais precisamente, nas suas propriedades algébricas.Mas tudo começou quando DiofantoAlexandria no século III dC tentou encontrar uma solução para esta equação: y * (6-y) = x3-x. No final do século 17 e início do século 18, Newton também tentou resolvê-lo. Tudo resultou em toda uma teoria, o que nos permite criptografar os dados com rapidez suficiente para que sua descriptografia leve muito mais tempo. Ou seja, obtemos esse mecanismo criptograficamente - um algoritmo.
O significado geométrico da integral de Riemann. Foto: commons.wikimedia.org
O problema das pontes de Euler: existe uma rota para contornar cada ponte de Königsberg apenas uma vez - hoje quase qualquer participante das Olimpíadas pode resolvê-lo.Essa questão do século 18, então ainda praticamenteinaplicável, deu origem a toda uma área da matemática - topologia. Hoje é usado, por exemplo, na robótica. O manipulador possui um espaço de configuração. Por exemplo, para um manipulador de dois elos, este é um toro. Mas um toro é um objeto topológico definido: se tomarmos dois pontos em um toro, podemos dizer sobre a trajetória do movimento entre esses dois pontos, sobre a minimalidade e assim por diante. Ou seja, surge toda uma área de análise. E se o manipulador é de três elos, a superfície se torna muito mais complicada, e a tarefa de encontrar algum caminho ótimo, ou mesmo apenas encontrar um caminho, é de ordens de magnitude. Aqui você não pode prescindir da topologia.
O problema das sete pontes. Foto: studfile.net
Análise infinitesimal, topologia e curvas elípticas provam que muitas pessoas estiveram envolvidas no desenvolvimento desses campos.E depois do século 18, a matemática já está se tornandociência profissional, ou seja, uma pessoa de fora praticamente não tem chances de obter sucesso significativo nela em nível mundial. A segunda tese, ao que parece, foi comprovada. Essas pessoas têm feito matemática durante toda a vida, sem esperar que seus resultados específicos sejam aplicáveis na prática.
Como forma de descrever a natureza
O notório bóson de Higgs, que, é claro, foi calculado pela primeira vez antes de ser descoberto e registrado.Ou seja, havia toda uma teoria baseada em cálculos.A teoria de que tal partícula deve existir e deve ter certas propriedades. Isso prova que a matemática permite que você adquira novos conhecimentos sobre a natureza. Vamos voltar ao início: que a matemática é a ciência de certas estruturas, das quais conhecemos apenas as propriedades, e então vemos o que resulta disso. O bóson de Higgs, que ainda não era conhecido naquela época, mas já de acordo com as suposições dos cientistas, deveria ter certas propriedades.
O segundo exemplo é o nono planeta.O cientista russo Batygin, que agora éensina nos EUA, primeiro calculou a órbita do nono planeta antes de ser descoberto. Ou seja, de acordo com alguns cálculos, este planeta deveria ter existido, e então já foi descoberto no ponto calculado.
Acontece que a matemática é uma ciência fundamental.Mas muitos dirão que a matemática é fácildisciplina a serviço das ciências naturais, e em parte eles estarão certos. E até Kolmogorov concordaria com eles, que, no prefácio do livro de Courant e Robbins, dizia que a matemática é inseparável de suas aplicações práticas.
Andrey Kolmogorov- matemático soviético, um dos fundadoresteoria da probabilidade moderna, obteve resultados fundamentais em topologia, geometria, lógica matemática, mecânica clássica, teoria da turbulência, teoria da complexidade de algoritmos, teoria da informação, teoria das funções e em uma série de outras áreas da matemática e suas aplicações.
Richard Courant- Matemático, educador e educador alemão e americanoorganizador científico. Ele é conhecido como o autor do clássico livro popular sobre matemática, “What is Mathematics?”, e também como um dos autores do critério Courant-Friedrichs-Lewy.
Herbert Robbins- Matemático e estatístico americano. Lema de Robbins, álgebra de Robbins, teorema de Robbins e outros termos receberam seu nome.
Weil diz que a questão dos fundamentos da matemática e o que ela representa em última análise permanece em aberto.E não há nenhuma direção conhecida que permitaeventualmente encontrar uma resposta definitiva para esta pergunta. Podemos esperar que algum dia seja obtido e reconhecido por todos os matemáticos? Weil ressalta que o próprio processo de estudar matemática, matematização, é um processo criativo quando as pessoas, sem esperar uma aplicação prática de seus resultados, os resultados de seu trabalho, simplesmente se envolvem nesse processo. Mas o fato de ele descrever o mundo, espero tê-lo convencido, não há mais dúvidas sobre isso. A matemática realmente descreve o mundo, e não existe ciência natural que não use o aparato matemático. No mundo moderno, as ciências sociais, incluindo a sociologia, usam métodos matemáticos como métodos de pesquisa.
André Weil- Matemático francês que contribuiu significativamentecontribuições para geometria algébrica e topologia, membro do grupo Bourbaki. Os trabalhos mais importantes no domínio da geometria algébrica, que soube fundamentar com o rigor exigido, obtiveram resultados importantes na análise funcional, nomeadamente na teoria da medida e integração em grupos topológicos e na teoria dos números, à qual participou. aplicou o aparato de álgebra homológica e análise funcional.
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