Crie uma classificação de variedades, descreva qualquer gráfico e preveja como a órbita do planeta muda - todos
A topologia é uma ciência, consiste em estudar as propriedades de um objeto que não mudará quando for deformado.
“Sullivan mudou repetidamente nossa visão detopologia. Ele introduziu novos conceitos, provou teoremas icônicos, respondeu a velhas hipóteses e formulou novos problemas que levaram o campo adiante”, o texto do discurso do Prêmio Abel de 2022. Sua recompensa foi de $ 854.000.
Ao longo de seu trabalho, Sullivan passou de uma área da matemática para outra e resolveu problemas usando uma ampla variedade de ferramentas, dizem os organizadores.
Como o Prêmio Abel foi o primeiroconcedido em 2003, tornou-se uma recompensa pelas conquistas de uma pessoa ao longo da vida, diz Hans Munthe-Kaas, presidente do comitê da Universidade de Bergen. Os últimos 24 vencedores do Prêmio Abel são todos matemáticos famosos. “É ótimo fazer parte desta lista distinta”, diz Sullivan.
Sobre o vencedor
Sullivan nasceu em Port Huron, Michigan, em1941 e cresceu no Texas. Ele começou sua carreira matemática na década de 1960. Naquela época, a topologia estava se desenvolvendo rapidamente, os pesquisadores estavam tentando classificar todos os manifolds existentes.
Uma variedade em matemática é umaum espaço que é linear em pequenas escalas é indistinguível de um plano. Mas a forma global de uma variedade nem sempre se assemelha à forma de um espaço plano, assim como a superfície de uma esfera difere da superfície de uma folha bidimensional. Nesse caso, esses objetos são ditos topologicamente distintos.
Qual é a essência do trabalho do laureado?
- Topologia
Em meados do século 20, os matemáticos perceberam que a topologia das variedades funciona de maneiras completamente diferentes. Tudo depende do número de dimensões que um objeto possui, diz Sullivan.
Estudar variedades com quatro ou menos dimensões era muito semelhante à geometria, diz ele. Os métodos também eram geométricos: as figuras eram cortadas em pedaços e depois remontadas.
Mas para objetos com um grande número de dimensões - cincoe mais - conseguimos avançar muito mais. Sullivan, juntamente com outros pesquisadores, criou uma classificação de variedades. Ele dividiu os problemas em problemas que também poderiam ser resolvidos por meio de cálculos algébricos, diz Niels Baas, matemático da Universidade Norueguesa de Ciência e Tecnologia em Trondheim.
Sullivan afirmou que estava mais orgulhoso deresultados que recebeu em 1977. Ele foi capaz de determinar as propriedades mais importantes do espaço usando uma ferramenta chamada homotopia racional. Esta se tornou uma de suas obras mais citadas e as técnicas mais utilizadas.
Homotopia é uma família de mapeamentos contínuos,cuja pré-imagem e imagem são espaços topológicos. Ou seja, o que podemos fazer com um objeto por meio de tração, compressão e deslocamento viscoso é quando alguma de sua vizinhança é deslocada junto com o ponto. Isso é necessário para a descrição algorítmica dos processos e para a construção da lógica da arquitetura usando um modelo matemático.
- Sistemas dinâmicos
Na década de 1980, Sullivan se interessousistemas dinâmicos. São sistemas que evoluem ao longo do tempo – as órbitas dos planetas ou as mudanças cíclicas numa população. Também aqui Sullivan fez contribuições dignas do Prémio Abel, diz Munthe-Kaas.
Em particular, Sullivan provou o fato de queUsando modelagem computacional, foi descoberto pelo físico matemático americano Mitchell Feigenbaum. Certos números, agora chamados de constantes de Feigenbaum, aparecem em muitos tipos de sistemas dinâmicos, e o trabalho de Sullivan explicou o porquê.
“Uma coisa é saber isso a partir de um experimento emcomputador, e outra bem diferente é conhecê-lo como um teorema matemático exato”, diz Sullivan. Outros matemáticos tentaram provar isso com ferramentas existentes, mas falharam.
- Classificação do gráfico
Sullivan e seu colega Bill Parry conseguiram formular pela primeira vez o invariante de Parry-Sullivan, um número que pode ser usado para criar classificações e sistemas dinâmicos parcialmente unidimensionais.
Eles declararam que a partir de qualquer gráfico pode-se fazeruma matriz de incidência onde as linhas são vértices e as colunas são arestas. Como resultado do trabalho, descobriu-se que o determinante da diferença nas matrizes de incidência unitária e quadrada não pode ser medido topologicamente. Os autores decidiram usá-lo para descrever a estrutura de um gráfico.
- Comportamento turbulento de líquidos
Nas décadas que se seguiram, Sullivan desenvolveu uma paixão porcomportamento turbulento de líquidos, como fluxos de água. Ele disse que seu sonho é descobrir padrões que possam tornar esse movimento previsível em larga escala.
Segundo o presidente do Comitê Abel, Hans Munthe-Kaas, uma das qualidades importantes do laureado é a capacidade de encontrar relações e analogias entre áreas diferentes e bastante distantes da matemática.
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