Știință structurală sau doar calcule?
"Britannica spune că matematica este știința structurilor,
Paradoxul lui Russell- descoperit în 1901 de Bertrand Russellparadoxul teoretic al mulțimilor (antinomie), care demonstrează inconsecvența sistemului logic al lui Frege, care a fost o încercare timpurie de a oficializa teoria naivă a mulțimilor a lui Georg Cantor.
Paradoxul poate fi descris după cum urmează.Să acceptăm să numim un set „obișnuit” dacă nu este propriul element. De exemplu, mulțimea tuturor oamenilor este „obișnuită”, deoarece mulțimea în sine nu este o persoană. Un exemplu de set „neobișnuit” este setul tuturor seturilor, deoarece este el însuși un set și, prin urmare, el însuși este propriul său element.
Sistemul axiomelor Zermelo-Fraenkel (ZF)- cea mai utilizată opțiuneteoria multimilor axiomatice. Formulat de Ernst Zermelo în 1908 pentru a depăși paradoxurile teoriei mulțimilor și apoi rafinat de Abraham Fraenkel în 1921. Sistemul de axiome este scris în limbajul logicii de ordinul întâi.
Voi încerca să vă demonstrez că matematica este o știință fundamentală.Știința de bază ar trebui să aibă următoareleproprietăți: rezultatele sale trebuie să fie universale; sarcinile sale nu ar trebui să includă implementarea practică inițială a rezultatelor obținute; și ne permite să dobândim noi cunoștințe despre natură, adică să avem putere predictivă.
Nu există nicio îndoială cu privire la universalitatea rezultatelor matematicii.Acesta este cel mai simplu punct, așa că este primul. Într-adevăr, chiar și la nivelul „de două ori doi este patru”: în orice moment și pe orice continent, va fi, desigur, patru.
Cum s-au născut instrumente practice din idei pure
Există patru ramuri ale matematicii care s-au dezvoltat dintr-o idee complet abstractă.În primul rând, o analiză a infinitesimalului, cenumită acum analiză matematică. Totul a început cu faptul că, probabil, antifoanele din secolul al V-lea î.Hr. au propus o metodă de epuizare. Se numește așa acum. Folosind această metodă, puteți găsi aria formelor ale căror limite nu sunt segmente de linie. De exemplu, aria unui cerc. Dacă există un cerc, atunci acesta poate fi închis, de exemplu, într-un pentagon și, de asemenea, înscris într-un pentagon. Zona cercului se va dovedi a fi ceva intermediar. Dacă înlocuiți pentagonul cu un șase, șapte și octogon, atunci precizia aproximării va crește. Cu cât este mai mare numărul laturilor poligonului nostru, care este inscripționat și descris în jurul cercului, cu atât aproximarea noastră se dovedește a fi mai bună.
Metoda epuizării. Foto: commons.wikimedia.org
Dar aria unui cerc este proporțională cu pătratul razei, iar coeficientul de proporționalitate este un fel de număr.S-au propus estimări pentru acest număr:de exemplu, Arhimede a sugerat că este aproximativ 22/7, această estimare ne permite să obținem precizie la două zecimale. Și faimosul Zu Chongzhi a sugerat deja o estimare mult mai bună: 355/113, deja cu șase zecimale. În cele din urmă, s-a dovedit că pi este un număr irațional și chiar transcendental, adică nu este un număr algebric.
Zu Chongzhi- Matematician și astronom chinez.Cum un astronom a determinat perioadele siderale de revoluție ale planetelor sistemului solar cu mare precizie. A dezvoltat un nou calendar ținând cont de fenomenul de precesiune. Cum primul matematician din lume a calculat pi până la a șaptea zecimală, dându-i o valoare între 3,1415926 și 3,1415927; o valoare mai precisă a fost calculată abia o mie de ani mai târziu.
Principiul lui Cavalieri este foarte simplu: dacă ai două corpuri volumetrice de aceeași înălțime și la fiecare nivel zonele de excizie sunt aceleași, atunci volumele acestor corpuri sunt aceleași.Acest principiu este potrivit pentru găsirea volumelor.corpuri ale căror fețe nu sunt neapărat plane. De exemplu, un con. De la astfel de abordări complet teoretice până în secolul al XVII-lea, se dezvoltă deja calculul diferențial și integral, la originea căruia se află doi oameni de știință - Newton și Leibniz, care au dezvoltat această zonă aproximativ în același timp. Aplicația practică a muncii lor de astăzi: căutarea lungimii curbei și tangentei la sferă, divergență, rotoare și chiar o distribuție normală bidimensională, datorită căreia se pot căuta probabilitățile evenimentelor construite complex.
Bonaventure Cavalieri- Matematician italian, precursoranaliza matematică, cel mai proeminent și influent reprezentant al „geometriei indivizibililor”. Principiile și metodele pe care le-a propus au făcut posibilă, chiar înainte de descoperirea analizei matematice, rezolvarea cu succes a multor probleme de natură analitică.
Principiul Cavalieri. Fotografie: obzor.lt
În secolul al XVI-lea, Gerolamo Cardano a introdus conceptul unui număr complex.În lucrările sale, numerele complexe sunt descrise castructuri complet rafinate și inutile, rafinate este o caracteristică pozitivă și inutilă - ei bine, înțelegem. Nu a văzut absolut nicio utilitate pentru ele, dar, cu toate acestea, a încercat să dezvolte această teorie. Mai târziu a devenit clar că acesta este un instrument util pentru multe domenii. Albert Einstein ar fi de acord. Exemplele includ calculul circuitelor electrice de curent alternativ, care este mult mai simplu folosind funcții semnificative complex. Tot felul de teoreme despre distribuția numerelor prime - binecunoscuta funcție zeta Riemann și teorema asociată acesteia, o ipoteză, de fapt, pentru că nu a fost încă dovedită - aceasta este una dintre cele șapte probleme ale mileniului. Numerele hipercomplexe, așa-numitele cuaternioni, și-au găsit aplicația în poziționare. Robotiștii mă vor înțelege aici. Când determinăm sau stabilim poziția unui obiect tridimensional în spațiu, cuaternionii sunt extrem de utili. Și deja este mai greu pentru noi să facem fără acces la acest spațiu hipercomplex.
Gerolamo Cardano- Matematician, inginer, filozof, doctor italianși astrolog. Formulele de rezolvare a ecuației cubice descoperite de Scipio del Ferro (Cardano a fost primul lor editor), suspensia cardanului, arborele cardan și rețeaua Cardano sunt numite în cinstea lui.
Cuaternioniieste un sistem de numere hipercomplexe care formează un spațiu vectorial de dimensiunea patru peste câmpul numerelor reale. Propus de William Hamilton în 1843.
Unii algoritmi de criptare se bazează pe proprietățile curbelor eliptice sau, mai precis, pe proprietățile lor algebrice.Totul a început însă când DiofantAlexandrian în secolul al III-lea d.Hr. a încercat să găsească o soluție la această ecuație: y * (6-y) = x3-x. La sfârșitul secolului al XVII-lea și începutul secolului al XVIII-lea, Newton a încercat, de asemenea, să o rezolve. Totul s-a transformat într-o teorie întreagă, care ne permite să criptăm datele suficient de repede, astfel încât decriptarea lor să dureze mult mai mult timp. Adică, obținem un astfel de mecanism criptografic - un algoritm.
Semnificația geometrică a integralei Riemann. Foto: commons.wikimedia.org
Problema podurilor lui Euler: există un traseu pentru a ocoli fiecare pod din Königsberg o singură dată - astăzi aproape orice participant la olimpiade o poate rezolva.Această întrebare din secolul al XVIII-lea, atunci încă practicinaplicabil, a dat naștere unui întreg domeniu al matematicii - topologie. Astăzi este folosit, de exemplu, în robotică. Manipulatorul are un spațiu de configurare. De exemplu, pentru un manipulator cu două legături, acesta este un tor. Dar un tor este un obiect topologic definit: dacă luăm două puncte pe un tor, putem spune despre traiectoria mișcării dintre aceste două puncte, despre minimalitate și așa mai departe. Adică, apare o întreagă zonă de analiză. Și dacă manipulatorul este cu trei legături, atunci suprafața devine mult mai complicată, iar sarcina de a găsi o cale optimă sau chiar de a găsi o cale este ordinele de mărime. Aici nu puteți face fără topologie.
Problema celor șapte poduri. Foto: studfile.net
Analiza infinitezimală, topologia, curbele eliptice toate dovedesc că mulți oameni au fost implicați în dezvoltarea acestor domenii.Și după secolul al XVIII-lea, matematica devine dejaștiința profesională, adică o persoană din exterior nu are practic nicio șansă de a obține un succes semnificativ la nivel mondial. Se pare că a doua teză a fost dovedită. Acești oameni au făcut matematică toată viața, fără să spere că rezultatele lor specifice vor fi practic aplicabile.
Ca modalitate de a descrie natura
Notoriul boson Higgs, care, desigur, înainte de a fi descoperit și înregistrat, a fost calculat pentru prima dată.Adică, a existat o întreagă teorie bazată pe calcule.Teoria conform căreia o astfel de particulă trebuie să existe și trebuie să aibă anumite proprietăți. Acest lucru demonstrează că matematica vă permite să obțineți noi cunoștințe despre natură. Să ne întoarcem chiar la început: că matematica este știința anumitor structuri pentru care cunoaștem doar proprietățile și apoi ne uităm la ceea ce iese din aceasta. Bosonul Higgs, care nu era încă cunoscut la acea vreme, dar deja conform presupunerilor oamenilor de știință, ar fi trebuit să aibă anumite proprietăți.
Al doilea exemplu este a noua planetă.Omul de știință rus Batygin, care este acumpredă în SUA, a calculat mai întâi orbita celei de-a noua planete înainte de a fi descoperită. Adică, potrivit unor calcule, această planetă ar fi trebuit să existe și atunci a fost deja descoperită la punctul calculat.
Se dovedește că matematica este o știință fundamentală.Dar mulți vor spune că matematica este ușoarădisciplină în slujba științelor naturii și parțial vor avea dreptate. Și chiar Kolmogorov ar fi de acord cu ei, care, în prefața cărții de Courant și Robbins, au spus că matematica este inseparabilă de aplicațiile sale practice.
Andrey Kolmogorov- Matematician sovietic, unul dintre fondatoriteoria probabilității moderne, a obținut rezultate fundamentale în topologie, geometrie, logică matematică, mecanică clasică, teoria turbulențelor, teoria complexității algoritmilor, teoria informațiilor, teoria funcției și într-o serie de alte domenii ale matematicii și aplicațiile acesteia.
Richard Courant- matematician german și american, educator șiorganizator stiintific. El este cunoscut drept autorul cărții populare clasice despre matematică, „Ce este matematica?” și, de asemenea, ca unul dintre autorii criteriului Courant-Friedrichs-Lewy.
Herbert Robbins- matematician și statistician american. Lema lui Robbins, algebra lui Robbins, teorema lui Robbins și alți termeni poartă numele lui.
Weil spune că problema fundamentelor matematicii și a ceea ce reprezintă ea în cele din urmă rămâne deschisă.Și nu există nicio direcție cunoscută care să permităîn cele din urmă găsiți un răspuns definitiv la această întrebare. Ne putem aștepta ca acesta să fie vreodată obținut și recunoscut de toți matematicienii? Weil subliniază că însuși procesul de studiere a matematicii, matematizarea, este un proces creativ atunci când oamenii, neavând speranța unei aplicări practice a rezultatelor lor, a rezultatelor muncii lor, se angajează pur și simplu în acest proces. Dar faptul că el descrie lumea, sper că v-am convins, nu mai există nicio îndoială cu privire la aceasta. Matematica descrie într-adevăr lumea și nu există științe naturale care să nu folosească aparatul matematic. În lumea modernă, științele sociale, inclusiv sociologia, folosesc metode matematice ca metode de cercetare.
André Weil- Matematician francez care a contribuit semnificativcontribuții la geometria și topologia algebrică, membru al grupului Bourbaki. Cele mai importante lucrări din domeniul geometriei algebrice, pe care le-a putut fundamenta cu nivelul de rigoare cerut, au obținut rezultate importante în analiza funcțională, în special în teoria măsurării și integrării în grupuri topologice și în teoria numerelor, la care a aplicat aparatul algebrei omologice şi analizei funcţionale.
Vezi și:
A fost creată prima hartă exactă a lumii. Ce este în neregulă cu toți ceilalți?
Algoritmul a descoperit un nou strat misterios în interiorul Pământului
Uranus a primit statutul de cea mai ciudată planetă din sistemul solar. De ce?