Štrukturálna veda alebo len výpočty?
"Britannica hovorí, že matematika je veda o štruktúrach,
Russellov paradox- objavil v roku 1901 Bertrand Russelmnožinový paradox (antinómia), demonštrujúci nekonzistentnosť Fregeho logického systému, ktorý bol skorým pokusom formalizovať naivnú teóriu množín Georga Cantora.
Paradox možno opísať nasledovne.Dohodnime sa, že budeme množinu nazývať „obyčajnou“, ak nejde o jej vlastný prvok. Napríklad množstvo všetkých ľudí je „obyčajné“, pretože samotné množstvo nie je osoba. Príkladom „neobvyklej“ množiny je množina všetkých množín, pretože je sama osebe množinou, a preto je sama o sebe svojim vlastným prvkom.
Ziomelo-Fraenkelov (ZF) axiómový systém- najpoužívanejšia možnosťaxiomatická teória množín. Formuloval ho Ernst Zermelo v roku 1908, aby prekonal paradoxy teórie množín, a potom ho vylepšil Abraham Fraenkel v roku 1921. Systém axióm je napísaný v jazyku logiky prvého poriadku.
Pokúsim sa vám dokázať, že matematika je základná veda.Základná veda by mala mať nasledovnévlastnosti: jeho výsledky musia byť univerzálne; jeho úlohy by nemali spočívať v počiatočnej praktickej implementácii získaných výsledkov; a umožňuje nám získať nové poznatky o prírode, to znamená mať prediktívnu moc.
O univerzálnosti výsledkov matematiky nie je pochýb.Toto je najjednoduchší bod, takže je na prvom mieste. Dokonca aj na úrovni „dvakrát dva sú štyri“: kedykoľvek a na akomkoľvek kontinente budú, samozrejme, štyri.
Ako sa praktické nástroje zrodili z čistých nápadov
Existujú štyri odvetvia matematiky, ktoré sa vyvinuli z úplne abstraktnej myšlienky.Najskôr analýza nekonečne malého, čoteraz sa nazýva matematická analýza. Všetko sa začalo tým, že Antifóny pravdepodobne v 5. storočí pred n. L. Navrhli metódu vyčerpania. Teraz sa tak volá. Pomocou tejto metódy môžete nájsť oblasť tvarov, ktorých hranice nie sú úsečkami. Napríklad oblasť kruhu. Ak existuje kruh, môže byť uzavretý napríklad v päťuholníku a tiež vpísaný do päťuholníka. Plocha kruhu sa ukáže byť niečím medzi. Ak nahradíte päťuholník šesť-, sedem- a osemuholníkom, presnosť aproximácie sa zvýši. Čím viac je počet strán nášho mnohouholníka, ktorý je vpísaný a opísaný okolo kruhu, tým lepšia je naša aproximácia.
Metóda vyčerpania. Foto: commons.wikimedia.org
Ale plocha kruhu je úmerná štvorcu polomeru a koeficient proporcionality je nejaké číslo.Odhady tohto počtu boli navrhnuté:napríklad Archimedes navrhol, že je to asi 22/7, tento odhad nám umožňuje dostať presnosť na dve desatinné miesta. A notoricky známy Zu Chongzhi už ponúkol oveľa lepší odhad: 355/113, už šesť desatinných miest. Nakoniec sa dokázalo, že pi je iracionálne až transcendentné číslo, to znamená, že nejde o algebraické číslo.
Zu Chongzhi- čínsky matematik a astronóm.Ako astronóm s vysokou presnosťou určil hviezdne obdobia revolúcie planét slnečnej sústavy. Vyvinutý nový kalendár zohľadňujúci fenomén precesie. Ako prvý matematik na svete vypočítal pí na siedme desatinné miesto a dal mu hodnotu medzi 3,1415926 a 3,1415927; presnejšia hodnota bola vypočítaná až o tisíc rokov neskôr.
Cavalieriho princíp je veľmi jednoduchý: ak máte dve objemové telesá rovnakej výšky a na každej úrovni sú oblasti excízie rovnaké, potom sú objemy týchto telies rovnaké.Tento princíp je vhodný na hľadanie zväzkov.telá, ktorých tváre nemusia byť nevyhnutne ploché. Napríklad kužeľ. Z takýchto úplne teoretických prístupov k 17. storočiu sa už vyvíja diferenciálny a integrálny počet, ktorého počiatkom sú dvaja vedci - Newton a Leibniz, ktorí vyvinuli túto oblasť približne v rovnakom čase. Praktické uplatnenie ich práce v súčasnosti: hľadanie dĺžky krivky a dotyčnice ku sfére, divergencia, rotory, ba dokonca dvojrozmerné normálne rozdelenie, vďaka ktorému možno hľadať pravdepodobnosti zložito konštruovaných udalostí.
Bonaventúra Cavalieri- taliansky matematik, predchodcamatematická analýza, najvýznamnejší a najvplyvnejší predstaviteľ „geometrie nedeliteľných“. Princípy a metódy, ktoré predložil, umožnili ešte pred objavom matematickej analýzy úspešne vyriešiť mnohé problémy analytického charakteru.
Cavalieriho princíp. Foto: obzor.lt
V 16. storočí predstavil Gerolamo Cardano koncept komplexného čísla.V jeho dielach sú komplexné čísla opísané akoúplne rafinované a zbytočné štruktúry, rafinované je pozitívna charakteristika a zbytočné - dobre, chápeme. Nevidel pre nich absolútne žiadny úžitok, no napriek tomu sa pokúsil rozvinúť túto teóriu. Neskôr sa ukázalo, že ide o užitočný nástroj pre mnohé oblasti. Albert Einstein by súhlasil. Príklady zahŕňajú výpočet striedavých elektrických obvodov, ktorý je oveľa jednoduchší pomocou komplexne významných funkcií. Všelijaké vety o rozdelení prvočísel – známa Riemannova zeta funkcia a veta s ňou spojená, v skutočnosti hypotéza, pretože ešte nebola dokázaná – to je jeden zo siedmich problémov tisícročia. Hyperkomplexné čísla, takzvané kvaternióny, našli svoje uplatnenie v polohovaní. Robotici ma tu pochopia. Keď určujeme alebo nastavujeme polohu trojrozmerného objektu v priestore, kvaternióny sú mimoriadne užitočné. A už teraz je pre nás ťažšie zaobísť sa bez prístupu do tohto hyperkomplexného priestoru.
Gerolamo Cardano- taliansky matematik, inžinier, filozof, lekára astrológ. Na jeho počesť sú pomenované vzorce na riešenie kubickej rovnice, ktorú objavil Scipio del Ferro (Cardano bol ich prvým vydavateľom), záves kardanu, kardanový hriadeľ a mriežka Cardano.
Kvartéryje systém hyperkomplexných čísel, ktorý tvorí vektorový priestor dimenzie štyri nad poľom reálnych čísel. Navrhol William Hamilton v roku 1843.
Niektoré šifrovacie algoritmy sú založené na vlastnostiach eliptických kriviek, presnejšie na ich algebraických vlastnostiach.Všetko sa to však začalo, keď DiophantusAlexandria v 3. storočí nášho letopočtu sa pokúsila nájsť riešenie tejto rovnice: y * (6-y) = x3-x. Koncom 17. a začiatkom 18. storočia sa to pokúsil vyriešiť aj Newton. Všetko vyústilo do celej teórie, ktorá nám umožňuje šifrovať dáta dostatočne rýchlo, aby ich dešifrovanie trvalo podstatne viac času. To znamená, že dostaneme takýto mechanizmus kryptograficky - algoritmus.
Geometrický význam Riemannovho integrálu. Foto: commons.wikimedia.org
Problém Eulerových mostov: existuje trasa, ktorou sa dá každý most v Königsbergu obísť iba raz – dnes ju dokáže vyriešiť takmer každý účastník olympiády.Táto otázka z 18. storočia, vtedy ešte praktickynepoužiteľné, zrodila celú oblasť matematiky - topológie. Dnes sa používa napríklad v robotike. Manipulátor má konfiguračný priestor. Napríklad pre manipulátor s dvoma odkazmi je to torus. Ale torus je jednoznačný topologický objekt: ak vezmeme dva body na toruse, môžeme povedať o trajektórii pohybu medzi týmito dvoma bodmi, o minimálnosti atď. To znamená, že sa objaví celá oblasť pre analýzu. A ak je manipulátor trojčlánkový, potom sa povrch stáva oveľa komplikovanejším a úloha nájsť nejakú optimálnu cestu alebo dokonca iba nájsť cestu je rádovo veľká. Tu nemôžete robiť bez topológie.
Problém siedmich mostov. Foto: studfile.net
Infinitezimálna analýza, topológia, eliptické krivky dokazujú, že na vývoji týchto oblastí sa podieľalo veľa ľudí.A po 18. storočí sa matematika už stávaodborná veda, to znamená, že človek zvonku nemá prakticky žiadnu šancu dosiahnuť v nej významné úspechy na svetovej úrovni. Ukázalo sa, že druhá téza bola preukázaná. Títo ľudia sa matematike venujú celý život a nedúfajú, že ich konkrétne výsledky budú skutočne použiteľné.
Ako spôsob, ako opísať prírodu
Notoricky známy Higgsov bozón, ktorý, samozrejme, predtým, ako bol objavený a zaznamenaný, bol najprv vypočítaný.To znamená, že existovala celá teória založená na výpočtoch.Teória, že takáto častica musí existovať a musí mať určité vlastnosti. To dokazuje, že matematika vám umožňuje získať nové vedomosti o prírode. Vráťme sa na úplný začiatok: že matematika je veda o určitých štruktúrach, pre ktoré poznáme iba vlastnosti, a potom sa pozrieme na to, čo z toho vyjde. Higgsov bozón, ktorý v tom čase ešte nebol známy, ale už podľa predpokladov vedcov, mal mať určité vlastnosti.
Druhým príkladom je deviata planéta.Ruský vedec Batygin, ktorý je terazučí v USA, najskôr vypočítala obežnú dráhu deviatej planéty pred jej objavením. To znamená, že podľa niektorých výpočtov mala táto planéta existovať a potom už bola vo vypočítanom bode objavená.
Ukazuje sa, že matematika je základná veda.Mnohí si však povedia, že matematika je ľahkádisciplíne v službách prírodných vied a čiastočne budú mať pravdu. A dokonca by s nimi súhlasil aj Kolmogorov, ktorý v predslove ku knihe Couranta a Robbinsa uviedol, že matematika je neoddeliteľná od jej praktických aplikácií.
Andrey Kolmogorov- sovietsky matematik, jeden zo zakladateľovmodernej teórie pravdepodobnosti, získal zásadné výsledky v topológii, geometrii, matematickej logike, klasickej mechanike, teórii turbulencií, teórii zložitosti algoritmov, teórii informácie, teórii funkcií a v mnohých ďalších oblastiach matematiky a jej aplikácií.
Richard Courant- nemecký a americký matematik, pedagóg avedecký organizátor. Je známy ako autor klasickej populárnej knihy o matematike „Čo je matematika?“ a tiež ako jeden z autorov kritéria Courant-Friedrichs-Lewy.
Herbert Robbins- americký matematik a štatistik. Robbinsova lemma, Robbinsova algebra, Robbinsova veta a ďalšie pojmy sú pomenované po ňom.
Weil hovorí, že otázka základov matematiky a toho, čo v konečnom dôsledku predstavuje, zostáva otvorená.A nie je známy žiadny smer, ktorý by to umožňovalnakoniec nájsť definitívnu odpoveď na túto otázku. Môžeme očakávať, že ho niekedy všetci matematici získajú a uznajú? Weil poukazuje na to, že samotný proces štúdia matematiky, matematizácie, je tvorivý proces, keď sa ľudia, nedúfajúc v praktické uplatnenie svojich výsledkov, výsledkov svojej práce, do tohto procesu jednoducho zapoja. Ale skutočnosť, že popisuje svet, dúfam, že som vás presvedčila, o tom už niet pochýb. Matematika skutočne popisuje svet a neexistuje prírodná veda, ktorá by nepoužívala matematický aparát. V modernom svete spoločenské vedy vrátane sociológie používajú ako metódy výskumu matematické metódy.
André Weil- francúzsky matematik, ktorý výrazne prispelpríspevky k algebraickej geometrii a topológii, člen Bourbakiho skupiny. Najvýznamnejšie práce v oblasti algebraickej geometrie, ktoré dokázal podložiť s požadovanou úrovňou rigoróznosti, dosiahli významné výsledky vo funkcionálnej analýze, najmä v teórii miery a integrácie v topologických grupách a teórii čísel, ku ktorým aplikoval aparát homologickej algebry a funkčnej analýzy.
Pozri tiež:
Bola vytvorená prvá presná mapa sveta. Čo je zlé na všetkých ostatných?
Algoritmus objavil novú záhadnú vrstvu vo vnútri Zeme
Urán získal status najpodivnejšej planéty v slnečnej sústave. Prečo?