วิทยาศาสตร์โครงสร้างหรือแค่การคำนวณ?
"Britannica กล่าวว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งโครงสร้าง
ความขัดแย้งของรัสเซล- ค้นพบในปี พ.ศ. 2444 โดยเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ความขัดแย้งทางทฤษฎีเซต (การต่อต้าน) แสดงให้เห็นถึงความไม่สอดคล้องกันของระบบตรรกะของ Frege ซึ่งเป็นความพยายามในช่วงแรกๆ ที่จะสร้างทฤษฎีเซตไร้เดียงสาของ Georg Cantor อย่างเป็นทางการ
ความขัดแย้งสามารถอธิบายได้ดังนี้ให้เราตกลงที่จะเรียกชุดว่า "ธรรมดา" ถ้าไม่ใช่องค์ประกอบของตัวเอง ตัวอย่างเช่นจำนวนประชากรทั้งหมดเป็น“ ธรรมดา” เพราะฝูงชนนั้นไม่ใช่บุคคล ตัวอย่างของชุดที่ "ผิดปกติ" คือชุดของชุดทั้งหมดเนื่องจากเป็นชุดของตัวมันเองและด้วยเหตุนี้เองจึงเป็นองค์ประกอบของตัวมันเอง
ระบบสัจพจน์ Zermelo-Fraenkel (ZF)- ตัวเลือกที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดทฤษฎีเซตสัจพจน์ คิดค้นโดย Ernst Zermelo ในปี 1908 เพื่อเอาชนะความขัดแย้งของทฤษฎีเซต จากนั้นจึงปรับปรุงโดย Abraham Fraenkel ในปี 1921 ระบบสัจพจน์เขียนด้วยภาษาของตรรกะอันดับหนึ่ง
ฉันจะพยายามพิสูจน์ให้คุณเห็นว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์พื้นฐานวิทยาศาสตร์พื้นฐานควรมีดังต่อไปนี้คุณสมบัติ: ผลลัพธ์ต้องเป็นสากล งานของมันไม่ควรรวมถึงการนำผลที่ได้รับไปปฏิบัติ และทำให้เราได้รับความรู้ใหม่ ๆ เกี่ยวกับธรรมชาตินั่นคือมีอำนาจในการทำนาย
ไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับความเป็นสากลของผลลัพธ์ของคณิตศาสตร์นี่คือจุดที่ง่ายที่สุด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องมาก่อน แท้จริงแล้วแม้แต่ในระดับ "สองครั้งสองก็ยังเป็นสี่" แน่นอนว่าจะเป็นสี่ในเวลาใดก็ได้และในทุกทวีป
เครื่องมือที่ใช้งานได้จริงเกิดจากความคิดที่บริสุทธิ์เพียงใด
คณิตศาสตร์มีสี่สาขาที่พัฒนาจากแนวคิดที่เป็นนามธรรมโดยสิ้นเชิงประการแรกการวิเคราะห์สิ่งที่เล็กที่สุดคืออะไรปัจจุบันเรียกว่าการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทุกอย่างเริ่มต้นด้วยความจริงที่ว่า Antiphones ในศตวรรษที่ 5 ได้เสนอวิธีการที่อ่อนล้า เรียกได้ว่าตอนนี้ ด้วยวิธีนี้คุณสามารถค้นหาพื้นที่ของรูปทรงที่มีขอบเขตไม่ใช่ส่วนของเส้น ตัวอย่างเช่นพื้นที่ของวงกลม หากมีวงกลมก็สามารถล้อมรอบได้เช่นเป็นรูปห้าเหลี่ยมและจารึกไว้ในรูปห้าเหลี่ยม พื้นที่ของวงกลมจะกลายเป็นสิ่งที่อยู่ระหว่าง หากคุณแทนที่ห้าเหลี่ยมด้วยหกเจ็ดและแปดเหลี่ยมความแม่นยำของการประมาณจะเพิ่มขึ้น ยิ่งจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งถูกจารึกและอธิบายไว้รอบ ๆ วงกลมมากเท่าใดการประมาณของเราก็จะดีขึ้นเท่านั้น
วิธีการอ่อนเพลีย ภาพ: commons.wikimedia.org
แต่พื้นที่ของวงกลมเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของรัศมี และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนเป็นตัวเลขบางชนิดมีการเสนอประมาณการของจำนวนนี้:ตัวอย่างเช่นอาร์คิมิดีสแนะนำว่านี่คือประมาณ 22/7 การประมาณนี้ช่วยให้เราได้ความแม่นยำถึงทศนิยมสองตำแหน่ง และ Zu Chongzhi ผู้โด่งดังได้เสนอการประมาณที่ดีกว่ามากแล้ว: 355/113 ทศนิยมหกตำแหน่งแล้ว ในท้ายที่สุดมันได้รับการพิสูจน์แล้วว่า pi เป็นจำนวนที่ไร้เหตุผลและยอดเยี่ยมนั่นคือมันไม่ใช่จำนวนพีชคณิต
ซู่ฉงจื่อ- นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวจีนนักดาราศาสตร์ระบุคาบการหมุนรอบดาวฤกษ์ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะด้วยความแม่นยำสูงได้อย่างไร พัฒนาปฏิทินใหม่โดยคำนึงถึงปรากฏการณ์พรีเซสชั่น วิธีที่นักคณิตศาสตร์คนแรกของโลกคำนวณพายถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 7 โดยให้ค่าระหว่าง 3.1415926 ถึง 3.1415927 ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นถูกคำนวณเพียงหนึ่งพันปีต่อมา
หลักการของ Cavalieri นั้นง่ายมาก: หากคุณมีวัตถุที่มีปริมาตรสองตัวซึ่งมีความสูงเท่ากันและในแต่ละระดับ พื้นที่ของการตัดออกเท่ากัน ปริมาตรของวัตถุเหล่านี้จะเท่ากันหลักการนี้เหมาะสำหรับการหาปริมาตรร่างกายที่ใบหน้าไม่จำเป็นต้องแบน ตัวอย่างเช่นกรวย จากแนวทางเชิงทฤษฎีอย่างสมบูรณ์เช่นนี้จนถึงศตวรรษที่ 17 แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์กำลังพัฒนาไปแล้วโดยมีนักวิทยาศาสตร์สองคนคือนิวตันและไลบ์นิซซึ่งพัฒนาพื้นที่นี้ในเวลาเดียวกัน การประยุกต์ใช้งานจริงในปัจจุบัน: การค้นหาความยาวของเส้นโค้งและเส้นสัมผัสกับทรงกลมความแตกต่างใบพัดและแม้แต่การแจกแจงปกติแบบสองมิติซึ่งสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สร้างขึ้นอย่างซับซ้อนได้
Bonaventure Cavalieri- นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้บุกเบิกการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นตัวแทนที่โดดเด่นและมีอิทธิพลมากที่สุดของ "เรขาคณิตของการแบ่งแยกไม่ได้" หลักการและวิธีการที่เขาหยิบยกขึ้นมาทำให้สามารถแก้ไขปัญหาต่างๆ ในลักษณะการวิเคราะห์ได้สำเร็จก่อนที่จะมีการค้นพบการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
หลักการของคาวาเลียรี รูปถ่าย: obzor.lt
ในศตวรรษที่ 16 Gerolamo Cardano ได้นำแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อนในงานของเขา มีการอธิบายจำนวนเชิงซ้อนว่าโครงสร้างที่ได้รับการขัดเกลาอย่างสมบูรณ์และไร้ประโยชน์ การขัดเกลาเป็นคุณลักษณะเชิงบวก และไม่มีประโยชน์ - เราเข้าใจดี เขาไม่เห็นประโยชน์ใด ๆ สำหรับพวกเขาเลย แต่ถึงกระนั้นเขาก็พยายามพัฒนาทฤษฎีนี้ ต่อมาเห็นได้ชัดว่านี่เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับหลายพื้นที่ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก็คงเห็นด้วย ตัวอย่าง ได้แก่ การคำนวณวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ซึ่งง่ายกว่ามากโดยใช้ฟังก์ชันที่มีนัยสำคัญที่ซับซ้อน ทฤษฎีบททุกประเภทเกี่ยวกับการแจกแจงของจำนวนเฉพาะ - ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่รู้จักกันดีและทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นสมมติฐานในความเป็นจริงเนื่องจากยังไม่ได้รับการพิสูจน์ - นี่เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหาของสหัสวรรษ ตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ หรือที่เรียกว่าควอเทอร์เนียน พบว่ามีประโยชน์ในการวางตำแหน่ง นักวิทยาการหุ่นยนต์จะเข้าใจฉันที่นี่ เมื่อเรากำหนดหรือกำหนดตำแหน่งของวัตถุสามมิติในอวกาศ ควอเทอร์เนียนจะมีประโยชน์อย่างยิ่ง และมันก็ยากกว่าสำหรับเราที่จะทำโดยไม่ต้องเข้าถึงพื้นที่ที่ซับซ้อนมากเกินไปนี้
Gerolamo Cardano- นักคณิตศาสตร์ วิศวกร นักปรัชญา ชาวอิตาลีและโหราจารย์ สูตรสำหรับการแก้สมการลูกบาศก์ที่ค้นพบโดย Scipio del Ferro (Cardano เป็นผู้จัดพิมพ์คนแรก) ระบบกันสะเทือนของ gimbal ก้าน cardan และโครงตาข่าย Cardano ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา
ควอเทอร์เนียนเป็นระบบของจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่สร้างปริภูมิเวกเตอร์ขนาด 4 เหนือสนามของจำนวนจริง เสนอโดยวิลเลียม แฮมิลตัน ในปี ค.ศ. 1843
อัลกอริธึมการเข้ารหัสบางอย่างขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเส้นโค้งรูปไข่หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นตามคุณสมบัติพีชคณิตแต่ทุกอย่างเริ่มต้นเมื่อไดโอแฟนทัสอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 3 พยายามหาคำตอบสำหรับสมการนี้: y * (6-y) = x3-x ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 และต้นศตวรรษที่ 18 นิวตันก็พยายามแก้ปัญหานี้เช่นกัน ทุกอย่างส่งผลให้เกิดทฤษฎีทั้งหมดซึ่งช่วยให้เราเข้ารหัสข้อมูลได้เร็วพอที่จะทำให้การถอดรหัสของพวกเขาใช้เวลามากขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ นั่นคือเราได้รับกลไกดังกล่าวในการเข้ารหัส - อัลกอริทึม
ความหมายทางเรขาคณิตของปริพันธ์ Riemann ภาพ: commons.wikimedia.org
ปัญหาของสะพานออยเลอร์: มีวิธีที่จะวนรอบสะพานแต่ละแห่งในเคอนิกส์แบร์กเพียงครั้งเดียวหรือไม่ - ปัจจุบันผู้เข้าร่วมโอลิมปิกเกือบทุกคนสามารถแก้ไขได้Этот вопрос XVIII века, тогда еще практически ไม่สามารถใช้งานได้ให้กำเนิดสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมด - โทโพโลยี วันนี้มีการใช้ตัวอย่างเช่นในหุ่นยนต์ หุ่นยนต์มีพื้นที่กำหนดค่า ตัวอย่างเช่นสำหรับตัวปรับแต่งสองลิงค์นี่คือพรู แต่ทอรัสเป็นวัตถุทอพอโลยีที่แน่นอน: ถ้าเราใช้จุดสองจุดบนทอรัสเราสามารถพูดเกี่ยวกับวิถีการเคลื่อนที่ระหว่างสองจุดนี้เกี่ยวกับความน้อยที่สุดและอื่น ๆ นั่นคือพื้นที่ทั้งหมดสำหรับการวิเคราะห์จะปรากฏขึ้น และถ้าหุ่นยนต์เป็นแบบสามลิงค์พื้นผิวจะซับซ้อนขึ้นมากและงานในการค้นหาเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดหรือแม้แต่การค้นหาเส้นทางก็คือคำสั่งของขนาด ที่นี่คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีโทโพโลยี
ปัญหา Seven Bridges ภาพ: studfile.net
การวิเคราะห์เพียงเล็กน้อย โทโพโลยี และเส้นโค้งรูปไข่ล้วนพิสูจน์ว่ามีคนจำนวนมากมีส่วนร่วมในการพัฒนาสาขาเหล่านี้และหลังจากศตวรรษที่ 18 คณิตศาสตร์กำลังจะกลายเป็นวิทยาศาสตร์วิชาชีพกล่าวคือบุคคลภายนอกแทบไม่มีโอกาสที่จะประสบความสำเร็จอย่างมีนัยสำคัญในระดับโลก ปรากฎว่าวิทยานิพนธ์ฉบับที่สองได้รับการพิสูจน์แล้ว คนเหล่านี้ทำคณิตศาสตร์มาตลอดชีวิตโดยไม่ได้หวังว่าผลลัพธ์เฉพาะของพวกเขาจะสามารถนำไปใช้ได้จริง
เป็นวิธีอธิบายธรรมชาติ
ฮิกส์ โบซอนผู้โด่งดัง ซึ่งแน่นอนว่าก่อนที่จะถูกค้นพบและบันทึกไว้นั้น ได้รับการคำนวณครั้งแรกนั่นคือมีทฤษฎีทั้งหมดขึ้นอยู่กับการคำนวณทฤษฎีที่ว่าอนุภาคดังกล่าวต้องมีอยู่จริงและต้องมีคุณสมบัติบางอย่าง นี่เป็นการพิสูจน์ว่าคณิตศาสตร์ช่วยให้คุณได้รับความรู้ใหม่ ๆ เกี่ยวกับธรรมชาติ ย้อนกลับไปที่จุดเริ่มต้น: คณิตศาสตร์นั้นเป็นวิทยาศาสตร์ของโครงสร้างบางอย่างซึ่งเรารู้คุณสมบัติเท่านั้นจากนั้นเราจะดูสิ่งที่ออกมาจากสิ่งนี้ ฮิกส์โบซอนซึ่งยังไม่เป็นที่รู้จักในเวลานั้น แต่ตามสมมติฐานของนักวิทยาศาสตร์แล้วน่าจะมีคุณสมบัติบางอย่าง
ตัวอย่างที่สองคือดาวเคราะห์ดวงที่เก้าBatygin นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียซึ่งตอนนี้สอนในสหรัฐอเมริกาเป็นครั้งแรกคำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์ดวงที่เก้าก่อนที่จะค้นพบ นั่นคือจากการคำนวณบางอย่างดาวเคราะห์ดวงนี้น่าจะมีอยู่จริงจากนั้นก็ถูกค้นพบแล้ว ณ จุดที่คำนวณ
ปรากฎว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์พื้นฐานแต่หลายคนจะบอกว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่ายมีระเบียบวินัยในการรับใช้วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและบางส่วนก็จะถูกต้อง และแม้แต่ Kolmogorov ก็เห็นด้วยกับพวกเขาซึ่งในคำนำของหนังสือโดย Courant และ Robbins กล่าวว่าคณิตศาสตร์นั้นแยกออกจากการใช้งานจริงไม่ได้
Andrey Kolmogorov- นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต หนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่ เขาได้ผลลัพธ์พื้นฐานในด้านโทโพโลยี เรขาคณิต ตรรกะทางคณิตศาสตร์ กลศาสตร์คลาสสิก ทฤษฎีความปั่นป่วน ทฤษฎีความซับซ้อนของอัลกอริทึม ทฤษฎีสารสนเทศ ทฤษฎีฟังก์ชัน และในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์และการประยุกต์ของมัน
Richard Courant- นักคณิตศาสตร์ นักการศึกษา และนักการศึกษาชาวเยอรมันและอเมริกันผู้จัดงานทางวิทยาศาสตร์ เขาเป็นที่รู้จักในฐานะผู้เขียนหนังสือยอดนิยมคลาสสิกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เรื่อง "คณิตศาสตร์คืออะไร" และยังเป็นหนึ่งในผู้เขียนเกณฑ์ Courant-Friedrichs-Lewy
เฮอร์เบิร์ตร็อบบินส์- นักคณิตศาสตร์และนักสถิติชาวอเมริกัน บทแทรกของร็อบบินส์ พีชคณิตของร็อบบินส์ ทฤษฎีบทของร็อบบินส์ และคำศัพท์อื่นๆ ตั้งชื่อตามเขา
ไวล์กล่าวว่าคำถามเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์และสิ่งที่คณิตศาสตร์เป็นตัวแทนในท้ายที่สุดยังคงเปิดกว้างอยู่และไม่มีทิศทางที่เป็นที่รู้จักที่จะอนุญาตในที่สุดก็พบคำตอบที่ชัดเจนสำหรับคำถามนี้ เราคาดหวังได้หรือไม่ว่าสักวันหนึ่งจะได้รับและยอมรับจากนักคณิตศาสตร์ทุกคน? Weil ชี้ให้เห็นว่ากระบวนการเรียนคณิตศาสตร์การคำนวณทางคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการที่สร้างสรรค์เมื่อผู้คนไม่หวังว่าจะนำผลลัพธ์ไปใช้จริงผลลัพธ์ของงานของพวกเขาเพียงแค่มีส่วนร่วมในกระบวนการนี้ แต่ความจริงที่ว่าเขาอธิบายโลกฉันหวังว่าฉันจะทำให้คุณมั่นใจไม่มีข้อสงสัยใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้อีกต่อไป คณิตศาสตร์อธิบายโลกได้อย่างแท้จริงและไม่มีวิทยาศาสตร์ธรรมชาติใดที่ไม่ใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ ในโลกสมัยใหม่สังคมศาสตร์รวมทั้งสังคมวิทยาใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีการวิจัย
André Weil- นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้มีส่วนสำคัญการมีส่วนร่วมในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโทโพโลยี ซึ่งเป็นสมาชิกของกลุ่มบูบากิ งานที่สำคัญที่สุดในสาขาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งเขาสามารถยืนยันด้วยระดับความเข้มงวดที่ต้องการได้ผลลัพธ์ที่สำคัญในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการวัดและการบูรณาการในกลุ่มทอพอโลยีและทฤษฎีจำนวนที่เขาทำอยู่ ใช้อุปกรณ์พีชคณิตคล้ายคลึงและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน
ดูเพิ่มเติมที่:
แผนที่แรกที่แม่นยำของโลกถูกสร้างขึ้น คนอื่นผิดอะไร
อัลกอริทึมได้ค้นพบชั้นลึกลับใหม่ภายในโลก
ดาวมฤตยูได้รับสถานะของดาวเคราะห์ที่แปลกประหลาดที่สุดในระบบสุริยะ ทำไม?