Yapısal bilim mi yoksa sadece hesaplamalar mı?
"Britannica, matematiğin yapıların bilimi olduğunu söylüyor.
Russell'ın paradoksu- 1901'de Bertrand Russell tarafından keşfedildiKüme-teorik paradoksu (antinomi), Frege'nin mantıksal sisteminin tutarsızlığını gösteren, Georg Cantor'un saf küme teorisini resmileştirmeye yönelik erken bir girişimdi.
Paradoks şu şekilde tanımlanabilir.Kendi öğesi değilse bir kümeyi "sıradan" olarak adlandırmayı kabul edelim. Örneğin, tüm insanların çokluğu "sıradan" dır çünkü çokluğun kendisi bir kişi değildir. "Olağandışı" bir küme örneği, tüm kümelerin kümesidir, çünkü kendisi bir küme ve bu nedenle de kendi öğesidir.
Zermelo-Fraenkel (ZF) aksiyom sistemi- en yaygın kullanılan seçenekaksiyomatik küme teorisi. Küme teorisinin paradokslarının üstesinden gelmek için 1908'de Ernst Zermelo tarafından formüle edildi ve daha sonra 1921'de Abraham Fraenkel tarafından geliştirildi. Aksiyom sistemi birinci dereceden mantık dilinde yazılmıştır.
Sizlere matematiğin temel bir bilim olduğunu kanıtlamaya çalışacağım.Temel bilim aşağıdakilere sahip olmalıdırözellikler: sonuçları evrensel olmalıdır; görevleri, elde edilen sonuçların başlangıçta pratik uygulamasını içermemelidir; ve doğa hakkında yeni bilgiler edinmemizi, yani tahmin gücüne sahip olmamızı sağlar.
Matematiğin sonuçlarının evrenselliği konusunda hiç şüphe yok.Bu en kolay nokta olduğundan ilk sırada gelir. Nitekim "iki kere iki dört eder" düzeyinde bile: herhangi bir zamanda ve herhangi bir kıtada elbette dört olacaktır.
Saf fikirlerden ne kadar pratik araçlar doğdu?
Tamamen soyut bir fikirden geliştirilen matematiğin dört dalı vardır.İlk olarak, sonsuz küçüklüğün analizi, neşimdi matematiksel analiz olarak adlandırılıyor. Her şey, muhtemelen MÖ 5. yüzyılda Antiphones'un bir tükenme yöntemi önerdiği gerçeğiyle başladı. Şimdi buna denir. Bu yöntemi kullanarak, sınırları çizgi parçaları olmayan şekillerin alanını bulabilirsiniz. Örneğin, bir dairenin alanı. Bir daire varsa, o zaman örneğin bir beşgen içine alınabilir ve ayrıca bir beşgen içine yazılabilir. Çemberin alanı arada bir şey olacak. Beşgeni altı, yedi ve sekizgen ile değiştirirseniz, yaklaşımın doğruluğu artacaktır. Çemberin etrafına yazılan ve tanımlanan poligonumuzun kenar sayısı ne kadar fazlaysa, yaklaşımımız o kadar iyi olur.
Tükenme yöntemi. Fotoğraf: commons.wikimedia.org
Ancak bir dairenin alanı yarıçapın karesiyle orantılıdır ve orantı katsayısı bir tür sayıdır.Bu sayının tahminleri önerilmiştir:örneğin, Arşimet kabaca 22/7 olduğunu öne sürdü, bu tahmin iki ondalık basamağa kadar kesinlik elde etmemizi sağlıyor. Ve kötü şöhretli Zu Chongzhi çok daha iyi bir tahmin sundu: 355/113, zaten altı ondalık basamak. Sonunda pi'nin irrasyonel ve hatta aşkın bir sayı olduğu, yani cebirsel bir sayı olmadığı kanıtlandı.
Zu Chongzhi- Çinli matematikçi ve astronom.Bir gökbilimci, güneş sistemindeki gezegenlerin yıldız dönüş dönemlerini yüksek doğrulukla nasıl belirledi? Devinim olgusunu dikkate alarak yeni bir takvim geliştirildi. Dünyanın ilk matematikçisi pi'yi yedinci ondalık basamağa kadar nasıl hesapladı ve ona 3,1415926 ile 3,1415927 arasında bir değer verdi; daha doğru bir değer ancak bin yıl sonra hesaplandı.
Cavalieri'nin prensibi çok basittir: Eğer aynı yükseklikte iki hacimsel gövdeniz varsa ve her seviyede eksizyon alanları aynıysa, o zaman bu gövdelerin hacimleri de aynıdır.Bu ilke hacimleri bulmak için uygundur.yüzleri mutlaka düz olmayan gövdeler. Örneğin bir koni. Bu tür tamamen teorik yaklaşımlardan 17. yüzyıla kadar, kökeni iki bilim insanı olan - Newton ve Leibniz, bu alanı aynı anda geliştiren diferansiyel ve integral hesap zaten gelişiyor. Bugünkü çalışmalarının pratik uygulaması: eğrinin uzunluğunu ve küreye teğet arayışı, ıraksama, rotorlar ve hatta karmaşık bir şekilde oluşturulmuş olayların olasılıklarını arayabilen iki boyutlu bir normal dağılım.
Bonaventure Cavalieri- İtalyan matematikçi, öncü“bölünemezlerin geometrisi”nin en belirgin ve etkili temsilcisi olan matematiksel analiz. Ortaya koyduğu prensipler ve yöntemler, matematiksel analizin keşfinden önce bile analitik nitelikteki birçok problemin başarıyla çözülmesini mümkün kıldı.
Cavalieri ilkesi. Fotoğraf: obzor.lt
16. yüzyılda Gerolamo Cardano, karmaşık sayı kavramını tanıttı.Eserlerinde karmaşık sayılar şu şekilde anlatılmaktadır:tamamen rafine edilmiş ve işe yaramaz yapılar, rafine edilmiş olumlu bir özelliktir ve işe yaramaz - yani, anlıyoruz. Bunların kesinlikle hiçbir faydasını görmedi ama yine de bu teoriyi geliştirmeye çalıştı. Daha sonra bunun birçok alan için kullanışlı bir araç olduğu anlaşıldı. Albert Einstein da aynı fikirdeydi. Örnekler arasında, karmaşık derecede önemli işlevler kullanılarak çok daha basit olan AC elektrik devrelerinin hesaplanması yer alır. Asal sayıların dağılımıyla ilgili her türlü teorem - iyi bilinen Riemann zeta fonksiyonu ve onunla ilişkili teorem, aslında bir hipotez, çünkü henüz kanıtlanmadı - bu, milenyumun yedi probleminden biridir. Kuaterniyonlar olarak adlandırılan hiper karmaşık sayılar, uygulamalarını konumlandırmada buldu. Robotikçiler beni burada anlayacaklar. Üç boyutlu bir nesnenin uzaydaki konumunu belirlediğimizde veya ayarladığımızda kuaterniyonlar son derece faydalıdır. Ve bu aşırı karmaşık alana erişim olmadan bunu yapmak bizim için zaten daha zor.
Gerolamo Cardano- İtalyan matematikçi, mühendis, filozof, doktorve astrolog. Scipio del Ferro (Cardano ilk yayıncısıydı) tarafından keşfedilen kübik denklemin çözümüne yönelik formüller, gimbal süspansiyonu, kardan mili ve Cardano kafesi onun onuruna adlandırılmıştır.
Kuaterniyonlargerçek sayılar alanı üzerinde dört boyutlu bir vektör uzayı oluşturan hiper karmaşık sayılar sistemidir. 1843'te William Hamilton tarafından önerildi.
Bazı şifreleme algoritmaları eliptik eğrilerin özelliklerine veya daha doğrusu cebirsel özelliklerine dayanmaktadır.Ama hepsi Diophantus ile başladıİskenderiye MS 3. yüzyılda bu denkleme bir çözüm bulmaya çalıştı: y * (6-y) = x3-x. 17. yüzyılın sonlarında ve 18. yüzyılın başlarında, Newton da bunu çözmeye çalıştı. Her şey tam bir teoriye dönüştü, bu da verileri yeterince hızlı şifrelememize olanak tanıdı, böylece şifre çözme önemli ölçüde daha fazla zaman alacaktır. Yani, kriptografik olarak böyle bir mekanizma elde ederiz - bir algoritma.
Riemann integralinin geometrik anlamı. Fotoğraf: commons.wikimedia.org
Euler köprüleri sorunu: Königsberg'deki her köprünün etrafından yalnızca bir kez geçilecek bir rota var mı - bugün neredeyse her Olimpiyat katılımcısı bunu çözebilir.18. yüzyılın bu sorusu, o zaman pratik olarakuygulanamaz, bütün bir matematik alanını - topolojiyi doğurdu. Bugün, örneğin robotikte kullanılmaktadır. Manipülatörün bir yapılandırma alanı vardır. Örneğin, iki bağlantılı bir manipülatör için bu bir simittir. Ama simit kesin bir topolojik nesnedir: bir simit üzerinde iki nokta alırsak, bu iki nokta arasındaki hareketin yörüngesi hakkında, asgarilik hakkında vb. Söyleyebiliriz. Yani, analiz için bütün bir alan ortaya çıkar. Ve eğer manipülatör üç-bağlantılı ise, yüzey çok daha karmaşık hale gelir ve en uygun yolu bulma, hatta sadece bir yol bulma görevi, büyüklük dereceleridir. Burada topoloji olmadan yapamazsınız.
Yedi Köprü Sorunu. Fotoğraf: studfile.net
Sonsuz küçük analiz, topoloji, eliptik eğrilerin tümü, bu alanların geliştirilmesinde birçok insanın yer aldığını kanıtlıyor.18. yüzyıldan sonra, matematik çoktanprofesyonel bilim, yani dışarıdan bir kişinin dünya düzeyinde önemli bir başarı elde etme şansı neredeyse hiç yoktur. İkinci tezin kanıtlandığı ortaya çıktı. Bu insanlar, kendi özel sonuçlarının pratikte uygulanabilir olacağını ummadan, hayatları boyunca matematik yapıyorlar.
Doğayı tanımlamanın bir yolu olarak
Elbette keşfedilip kaydedilmeden önce ilk kez hesaplanan kötü şöhretli Higgs bozonu.Yani, hesaplamalara dayanan bütün bir teori vardı.Böyle bir parçacığın var olması ve belirli özelliklere sahip olması gerektiği teorisi. Bu, matematiğin doğa hakkında yeni bilgiler edinmenizi sağladığını kanıtlıyor. En başa dönelim: matematik, sadece özelliklerini bildiğimiz belirli yapıların bilimidir ve sonra bundan ne çıktığına bakarız. O zamanlar henüz bilinmeyen, ancak zaten bilim adamlarının varsayımlarına göre Higgs bozonu belli özelliklere sahip olmalıydı.
İkinci örnek dokuzuncu gezegendir.Şimdi olan Rus bilim adamı BatyginABD'de öğretir, keşfedilmeden önce dokuzuncu gezegenin yörüngesini hesapladı. Yani, bazı hesaplamalara göre, bu gezegen var olmalıydı ve sonra hesaplanan noktada zaten keşfedildi.
Matematiğin temel bir bilim olduğu ortaya çıktı.Ama çoğu matematiğin kolay olduğunu söyleyecekdoğa bilimlerinin hizmetinde disiplin ve kısmen haklı olacaklar. Courant ve Robbins'in kitabının önsözünde matematiğin pratik uygulamalarından ayrılamaz olduğunu söyleyen Kolmogorov bile onlarla hemfikirdi.
Andrey Kolmogorov- Kuruculardan biri olan Sovyet matematikçisimodern olasılık teorisiyle topoloji, geometri, matematiksel mantık, klasik mekanik, türbülans teorisi, algoritma karmaşıklığı teorisi, bilgi teorisi, fonksiyon teorisi ve matematiğin diğer bazı alanlarında ve uygulamalarında temel sonuçlar elde etti.
Richard Courant- Alman ve Amerikalı matematikçi, eğitimci vebilimsel organizatör. Matematik üzerine klasikleşmiş popüler kitap olan “Matematik Nedir?” kitabının yazarı ve aynı zamanda Courant-Friedrichs-Lewy kriterinin yazarlarından biri olarak tanınır.
Herbert Robbins- Amerikalı matematikçi ve istatistikçi. Robbins lemması, Robbins cebiri, Robbins teoremi ve diğer terimler onun adını taşımaktadır.
Weil, matematiğin temelleri ve sonuçta neyi temsil ettiği sorununun hala açık olduğunu söylüyor.Ve izin verecek bilinen bir yön yoksonunda bu soruya kesin bir cevap bulun. Bir gün tüm matematikçiler tarafından elde edilmesini ve tanınmasını bekleyebilir miyiz? Weil, matematik çalışma sürecinin, yani matematikleştirmenin, insanların sonuçlarının pratik bir şekilde uygulanmasını ummadıkları, çalışmalarının sonuçlarını basitçe bu sürece dahil ettikleri yaratıcı bir süreç olduğuna dikkat çekiyor. Ama dünyayı tanımladığı gerçeği, umarım sizi ikna etmişimdir, artık bundan şüphe yoktur. Matematik gerçekten dünyayı tanımlar ve matematiksel aygıtı kullanmayan bir doğa bilimi yoktur. Modern dünyada, sosyoloji de dahil olmak üzere sosyal bilimler, matematiksel yöntemleri araştırma yöntemi olarak kullanır.
André Weil- Önemli katkılarda bulunan Fransız matematikçiCebirsel geometri ve topolojiye katkılar, Bourbaki grubunun üyesi. Cebirsel geometri alanında gerekli düzeyde titizlikle kanıtlayabildiği en önemli çalışmalar, fonksiyonel analizde, özellikle topolojik gruplarda ölçü ve entegrasyon teorisinde ve sayı teorisinde önemli sonuçlar elde etti. Homolojik cebir ve fonksiyonel analiz aygıtlarını uyguladı.
Ayrıca bakınız:
Dünyanın ilk doğru haritası oluşturuldu. Herkesin nesi var?
Algoritma, Dünya'nın içinde yeni bir gizemli katman keşfetti
Uranüs, güneş sistemindeki en garip gezegen statüsünü aldı. Neden?