Наука про структурах або просто розрахунки?
«Британника» каже, що математика — це наука про структури,
парадокс Рассела- відкритий у 1901 році Бертраном Расселомтеоретико-множинний парадокс (антиномія), що демонструє суперечливість логічної системи Фреге, яка була ранньою спробою формалізації наївної теорії множин Георга Кантора.
Парадокс можна описати таким чином.Домовимося називати безліч «звичайним», якщо воно не є своїм власним елементом. Наприклад, безліч всіх людей є «звичайним», так як саме безліч - не людина. Прикладом «незвичайного» безлічі є безліч всіх множин, так як вона сама є безліччю, а, отже, саме є власним елементом.
Система аксіом Цермело - Френкеля (ZF)- Найбільш широко використовуваний варіантаксіоматичної теорії множин. Сформульована Ернстом Цермело в 1908 для подолання парадоксів теорії множин, а потім була уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 році. Система аксіом записана мовою логіки першого порядку.
Я спробую вам довести, що математика є фундаментальною наукою.Фундаментальна наука повинна мати наступнівластивостями: її результати повинні бути універсальні; в її завдання не повинна входити спочатку практична реалізація отриманих результатів; і вона дозволяє нам отримувати нові знання про природу, тобто мати передбачувану силу.
В універсальності результатів математики сумнівів немає.Це найлегший пункт, тому він стоїть першим. Справді, навіть на рівні «двічі два — чотири»: у будь-який час і на будь-якому континенті це буде, звичайно, чотири.
Як з чистих ідей народилися практичні інструменти
Існують чотири галузі математики, які розвинулися з абсолютно абстрактної ідеї.По-перше, аналіз нескінченно малих, то, щоЗараз називають математичним аналізом. Почалося все з того, що імовірно Антифон в V столітті до нашої ери запропонував метод вичерпання. Він і зараз так називається. За допомогою цього методу можна знаходити площа фігур, межі яких - не відрізки. Наприклад, площа кола. Якщо є коло, то його можна зробити висновок, наприклад, в п'ятикутник, а також вписати в нього п'ятикутник. Площа круга вийде чимось середнім між ними. Якщо замінити п'ятикутник на шести-, семи- і восьмикутник, то точність наближення зросте. Чим більше кількість сторін у нашого ось багатокутника, який вписаний і описаний близько кола, тим краще виявляється наше наближення.
Метод вичерпання. Фото: commons.wikimedia.org
Але площа кола пропорційна квадрату радіусу, а коефіцієнт пропорційності це якесь число.Були запропоновані оцінки цього числа:наприклад, Архімед припустив, що це приблизно 22/7, ця оцінка дозволяє нам отримати точність до двох знаків після десяткової коми. А горезвісний Цзу Чунжі вже запропонував оцінку набагато краще: 355/113, вже шість знаків після коми. Зрештою, було доведено, що пі - це число ірраціональне і навіть трансцендентне, тобто не є алгебраїчним числом.
Цзу Чунжі— китайський математик та астроном.Як астроном визначив сидеричні періоди поводження планет Сонячної системи з високою точністю. Розробив новий календар із урахуванням явища прецесії. Як математик першим у світі розрахував число пі з точністю до сьомого знака після коми, давши його значення між 3,1415926 та 3,1415927; Найточніше значення було обчислено лише через тисячу років.
Принцип Кавальєрі дуже простий: якщо у вас є два об'ємні тіла однакової висоти і на кожному рівні площі висічень однакові, то й обсяги цих тіл однакові.Такий принцип підходить для знаходження обсягівтел, у яких межі необов'язково плоскі. Наприклад, конус. З таких абсолютно теоретичних підходів до XVII століття вже розвивається диференціальне та інтегральне числення, біля витоків якого стоять двоє вчених - Ньютон і Лейбніц, які приблизно одночасно розвивали цю область. Практичне застосування їх робіт сьогодні: пошук довжини кривої і дотичній до сфери, дивергенції, ротори і навіть двовимірне нормальний розподіл, завдяки якому можна шукати ймовірності сложноконструіруемих подій.
Бонавентура Кавальєрі- Італійський математик, предтечаматематичного аналізу, найяскравіший і найвпливовіший представник «геометрії неподільних». Висунуті їм принципи та методи дозволили ще до відкриття математичного аналізу успішно вирішити безліч завдань аналітичного характеру.
Принцип Кавальєрі Фото: obzor.lt
У XVI столітті Джироламо Кардано ввів поняття комплексного числа.У його працях комплексні числа описані якабсолютно витончені та марні структури, витончені — це позитивна характеристика, а марні — ну ми розуміємо. Він бачив їм абсолютно ніякого застосування, проте намагався розвивати цю теорію. Вже потім зрозуміли, що це корисний інструмент для багатьох областей. Альберт Ейнштейн погодився б. Як приклади - розрахунок електричних ланцюгів змінного струму, який робиться набагато простіше із застосуванням комплексно-значущих функцій. Всякі теореми про розподіл простих чисел — відома дзета-функція Рімана та теорема, пов'язана з нею, гіпотеза насправді, бо вона ще не доведена — це одна із семи проблем тисячоліття. Гіперкомплексні числа, звані кватерніони, знайшли своє застосування у позиціонуванні. Тут мене зрозуміють робототехніки. Коли ми визначаємо чи задаємо положення тривимірного об'єкта у просторі, то кватерніони виключно корисні. А обійтися без виходу в цей гіперкомплексний простір нам уже важче.
Джироламо Кардано- Італійський математик, інженер, філософ, лікарта астролог. На його честь названі відкриті Сципіоном дель Ферро формули рішення кубічного рівняння (Кардано був їх першим публікатором), карданів підвіс, карданний вал і ґрати Кардано.
кватерніони- Система гіперкомплексних чисел, що утворює векторний простір розмірністю чотири над полем дійсних чисел. Запропоновано Вільямом Гамільтоном у 1843 році.
Деякі алгоритми шифрування ґрунтуються на властивостях еліптичних кривих, а, точніше, на їх алгебраїчних властивостях.Але все почалося з того, що ДіофантОлександрійський в III столітті нашої ери намагався знайти рішення цього рівняння: y * (6-y) = x3-x. В кінці XVII - початку XVIII століття Ньютон теж намагався його вирішити. Все вилилося в цілу теорію, яка дозволяє нам досить швидко зашифрувати дані, з тим, щоб їх розшифровка вимагала значно більше часу. Тобто ми отримуємо криптографически такий механізм - алгоритм.
Геометричний сенс інтеграла Рімана. Фото: commons.wikimedia.org
Завдання мостів Ейлера: чи існує маршрут, щоб обійти кожен міст Кенігсберга лише по одному разу, сьогодні може вирішити майже будь-який олімпіадник.Це питання XVIII століття, тоді ще практичнонепридатний, породив цілу область математики - топологію. Сьогодні вона застосовується, наприклад, в робототехніці. У маніпулятора є конфігураційний простір. Наприклад, у двухзвенного маніпулятора - це тор. Але тор - це певний топологічний об'єкт: якщо ми візьмемо дві точки на торі, то зможемо сказати про траєкторію пересування між цими двома точками, про мінімальність і так далі. Тобто з'являється ціла область для аналізу. А якщо маніпулятор триланковий, то і поверхня стає значно складніше, а завдання по знаходженню якогось оптимального шляху або навіть просто знаходженню шляху - на порядки. Тут без топології вже не обійтися.
Завдання семи мостів. Фото: studfile.net
Аналіз нескінченно малих, топологія, еліптичні криві — це доводить те, що у розвиток цих областей було залучено багато людей.А після XVIII століття математика вже стаєпрофесійний наукою, тобто людина з боку практично не має шансів добитися в ній значущих на світовому рівні успіхів. Друга теза, виходить, доведений. Ці люди займалися математикою все життя, не сподіваючись на те, що їх конкретні результати будуть практично застосовними.
Як спосіб описати природу
Горезвісний Бозон Хіггса, який, звісно, перш ніж був виявлений та зафіксований, спочатку був розрахований.Тобто була ціла теорія, заснована на розрахунках.Теорія, згідно з якою така частка повинна існувати і повинна мати певні властивості. Це доводить, що математика дозволяє отримувати нові знання про природу. Повернемося до самого початку: що математика - це наука про деяких структурах, у яких ми знаємо тільки властивості, а потім вже дивимося, а що ж з цього виходить. Бозон Хіггса, який тоді ще не знали, але вже за припущеннями вчених повинен був володіти певними властивостями.
Другий приклад – дев'ята планета.Російський вчений Батигін, який заразвикладає в США, спочатку обчислив орбіту дев'ятої планети, перш ніж її виявили. Тобто, згідно з якимось розрахунками, ця планета повинна була існувати, а потім вона вже була виявлена в розрахунковій точці.
Виходить, що математика – фундаментальна наука.Але багато хто скаже, що математика - це простодисципліна на службі природних наук, і почасти вони будуть праві. І з ними погодився б навіть Колмогоров, який в передмові до книги Куранта і Роббінса так і сказав, що математика невіддільна від її практичних застосувань.
Андрій Колмогоров— радянський математик, один із основоположниківсучасної теорії ймовірностей, їм отримано фундаментальні результати в топології, геометрії, математичній логіці, класичній механіці, теорії турбулентності, теорії складності алгоритмів, теорії інформації, теорії функцій та інших областей математики та її додатків.
Ріхард Курант— німецький та американський математик, педагог танауковий організатор. Відомий як автор класичної популярної книги з математики «Що таке математика?», а також як один із авторів критерію Куранта – Фрідріхса – Леві.
Герберт Роббінс- американський математик та статистик. Його ім'ям названі лема Роббінса, алгебра Роббінса, теорема Роббінса та інші терміни.
Вейль говорить про те, що питання про підстави математики і про те, що в кінцевому рахунку вона є, залишається відкритим.І невідомо такого напрямку, який дозволитьв кінці кінців знайти остаточну відповідь на це питання. Чи можна очікувати, що він коли-небудь буде отримано і визнаний всіма математиками? Вейль вказує на те, що сам процес вивчення математики, математізірованность - це творчий процес, коли люди, не сподіваючись на практичне застосування їх результатів, результатів їх роботи, просто займаються цим процесом. Але а то, що він описує світ, сподіваюся, я вас переконав, тут сумнівів уже немає. Математика дійсно описує світ, і немає природної науки, яка не користувалася б математичним апаратом. У сучасному світі і громадські науки, в тому числі соціологія, користуються математичними методами як методами для дослідження.
Андре Вейль- французький математик, який вніс значнийвнесок у алгебраїчну геометрію та топологію, член групи Бурбаки. Найважливіші праці в галузі алгебраїчної геометрії, яку зумів обґрунтувати з потрібним рівнем суворості, отримав важливі результати у функціональному аналізі, зокрема в теорії міри та інтегрування в топологічних групах та теорії чисел, до якої застосував апарат гомологічної алгебри та функціонального аналізу.
Читайте також:
Створено першу точна карта світу. Що не так з усіма іншими?
Алгоритм виявив новий таємничий шар всередині Землі
Уран отримав статус самої дивної планети в Сонячній системі. Чому?