Математика в природі
Перші давньогрецькі філософи намагалися описати і пояснити порядок у природі,
У 1202 році Леонардо Фібоначчі відкривпослідовність чисел Фібоначчі західному світу у своїй «Книзі абака». Фібоначчі навів (неіснуючий) біологічний приклад чисельного зростання теоретичної популяції кроликів. У 1917 році Дарсі Томпсон (1860—1948) опублікував свою книгу. Його опис взаємозв'язку філлотаксису (розташування листя на стеблі рослини) та чисел Фібоначчі (математичне відношення закономірностей спірального росту в рослинах) стало класичним. Він показав, що прості рівняння можуть описати усі складні закономірності спірального росту рогів тварин і раковин молюсків.
Тюрінг, Плато, Геккель, Цейзинг - знамениті діячі мистецтва і науки шукали суворі закони математики і знаходили її в красі природи.
Спіраль Фібоначчі - геометрична прогресія краси
Спіралі поширені серед рослин та деякихтварин, особливо серед молюсків. Наприклад, у молюсків-наутилід кожен осередок їхньої раковини — зразкова копія наступної, масштабована константою і викладена в логарифмічну спіраль.
Найчастіше у природі зустрічаєтьсяпослідовність Фібоначчі. Вона починається з чисел 1 і 1, а потім кожне наступне число виходить шляхом додавання двох попередніх чисел. Отже, після 1 та 1 наступне число - 2 (1 + 1). Наступне число - 3 (1 + 2), потім 5 (2 + 3) і так далі.
Спіралі в рослинах спостерігаються в розташуваннілистя на стеблі, а також у структурі бутону і насіння квітки - наприклад у соняшника або структури плоду ананасу та салаку. Послідовність Фібоначчі можна помітити і у соснової шишки, де величезна кількість спіралей розташована за годинниковою і проти годинникової стрілки. Ці механізми пояснюються по-різному математикою, фізикою, хімією, біологією. Кожне з пояснень вірне саме собою, але необхідно враховувати їх усі.
З точки зору фізики, спіралі - конфігураційнизьких енергій, які виникають спонтанно шляхом самоорганізації процесів в динамічних системах. З точки зору хімії, спіраль може побут утворена реакційно-дифузійним процесом із залученням як активації, так і пригнічення. Філлотаксису контролюється протеїнами, які керують концентрацією рослинного гормону ауксину, який активує зростання середнього стебла, поряд з іншими механізмами контролю відносного кута розташування бутона до стебла. З точки зору біології листя розташовані настільки далеко один від одного, наскільки дозволяє природний відбір, так як він максимізує доступ до ресурсів, особливо до сонячного світла, для фотосинтезу.
Фрактали - нескінченне (майже) повторення
Фрактали — ще одна цікаваматематична форма, яку кожен бачили в природі. Сам Фрактал - це самоподібна повторювана форма, що означає, що одна і основна форма з'являється знову і знову.
Іншими словами, якщо ви збільшите або зменшите масштаб, скрізь буде видно одна і теж.
Ці самоподібні циклічні математичні конструкції, що мають фрактальну розмірність, зустрічаються досить часто, особливо серед рослин. Найвідоміший приклад - папороть.
Листя папороті є типовим прикладом самоповторяющегося ряду.
До речі, нескінченна повторюваність неможлива вприроді, тому всі фрактальні закономірності — це лише апроксимації (наближення). Наприклад, листя папороті та деяких парасолькових рослин (наприклад, кмин) є самоподібними до другого, третього або четвертого рівня.
Схожі з папороттю патерни зустрічаються такожу багатьох рослин (брокколі, капуста сорту Романеско, крони дерев і листя рослин, плід ананаса), тварин (мшанки, корали, гідроїдні, морські зірки, морські їжаки). Також фрактальні патерни має місце в структурі розгалуження кровоносних судин і бронхів тварин і людини.
Перші приклади самоподібних множин з незвичайнимивластивостями з'явилися в XIX столітті в результаті вивчення безперервних недіфференціруемих функцій (наприклад, функція Больцано, функція Вейєрштрасса, безліч Кантора). Термін «фрактал» введений Бенуа Мандельброт в 1975 році і отримав широку популярність з виходом в 1977 році його книги «Фрактальна геометрія природи».
Безліч Мандельброта - класичний зразок фрактала
Особливу популярність фрактали знайшли з розвитком комп'ютерних технологій, що дозволили ефектно візуалізувати ці структури.
Багатокутники - інженерний геній
При достатній спостережливості у живій природі легко виявити строгу геометрію. В особливій пошані виявляються гексагони - правильні шестикутники.
Наприклад, соти, в яких бджоли зберігаютьзолотистий нектар — це дива інженерного мистецтва, набір осередків у формі призми з правильним шестикутником в основі. Товщина воскових стінок суворо визначена, осередки трохи відхиляються від горизонталі, щоб в'язкий мед не витікав, і стільники перебувають у рівновазі з урахуванням впливу магнітного поля Землі. Адже цю конструкцію без креслень і прогнозів будують безліч бджіл, які одночасно працюють і якось координують свої спроби зробити стільники однаковими.
Якщо ви подує на бульбашки на поверхні води,щоб зігнати їх разом, то вони придбають форму шестикутників - або, принаймні, наблизяться до неї. Ви ніколи не побачите скопище квадратних бульбашок: якщо навіть чотири стінки стикнуться, вони негайно перебудуються в конструкцію з трьома сторонами, між якими будуть приблизно рівні кути в 120 градусів. Чому так відбувається?
Піна - це безліч бульбашок.У природі є пінопласти з різних матеріалів. Піна, що складається з мильних плівок, підпорядковується законам Плато, згідно з якими три мильні плівки з'єднуються під кутом 120 градусів, а чотири грані з'єднуються в кожній вершині тетраедра під кутом 109,5 градусів. Потім за законами Плато потрібно, щоб плівки були гладкими та безперервними, а також мали постійну середню кривизну у кожній точці. Наприклад, плівка може залишатися майже плоскою в середньому, маючи кривизну в одному напрямку (наприклад, ліворуч), і в той же час викривлятися в зворотному напрямку (наприклад, зверху вниз). Лорд Кельвін сформулював завдання упаковки клітин одного об'єму найбільш ефективним способом у вигляді піни у 1887 році; його рішення - кубічна стільника зі слабко вигнутими гранями, що задовольняють законам плато. До 1993 року це рішення залишалося найкращим, поки Денис Ваерен і Роберт Фелан не запропонували структуру Ваера-Фелена. Згодом ця структура була адаптована для зовнішньої стіни Пекінського національного плавального комплексу, побудованого для проведення літніх Олімпійських ігор 2008 року.
Природа стурбована економією.Бульбашки і мильна плівка складаються з води (і шару мильних молекул), і поверхневий натяг стискає поверхню рідини таким чином, щоб вона займала найменшу площу. Тому краплі дощу при падінні приймають форму, близьку до сферичної: у сфери найменша площа поверхні в порівнянні з іншими фігурами того ж обсягу. На восковому листку краплі води стискаються в маленькі намистинки з тієї ж причини.
Поверхневий натяг пояснює і той візерунок,який утворюють бульбашки або піна. Піна прагне до такої конструкції, при якій загальний поверхневий натяг буде мінімальним, а значить, мінімальної повинна бути і площа мильною мембрани. Але конфігурація стінок бульбашок повинна бути міцною і з точки зору механіки: натяг в різних напрямках на «перехресті» має бути ідеально збалансовано (за тим же принципом потрібен баланс при будівництві стін собору). Тристороння з'єднання в плівці з бульбашок і чотиристороння - в піні - комбінації, які досягають цього балансу.
Читати далі
Створено першу точна карта світу. Що не так з усіма іншими?
У НАСА розповіли, як вони доставлять зразки Марса на Землю
Уран отримав статус самої дивної планети в Сонячній системі. Чому?